Risoluzione equazione parabolica con forzante

[merioo93]

Buongiorno,
ho bisogno di una mano nella risoluzione di questo problema:

$ \{ ((partial u)/(partial t) - B*(partial^2 u)/(partial x^2) = f_0 * sin((3pi)/L x) ), (u(0,t)= 0), (u(L,t)= 0), (u(x,0)= 0) :}$

Si tratta di un problema di diffusione del calore attraverso una sbarra di lunghezza $L$, dunque l ' intervallo da prendere in considerazione è $[0,L]$.

Divido il problema in parte stazionaria indipendente dal tempo e parte transitoria:
$u(x,t) = v(x) + s(x,t)$

Essendo le condizioni al bordo di tipo Dirichlet omogenee, la soluzione stazionaria $v(x) = 0$.
Le autofunzioni calcolate sono : $ Phi(x)= sqrt(2/L) sin(npi x/L) $
Il mio problema riguarda il problema transitorio, in particolare la forzante:
seguendo i testi, una EDO di tipo parabolico non omogenea, dispone una forzante $f$ del tipo $f(x,t)$, quindi spazio-tempo dipendente.
Se cosi fosse, non farei altro che calcolarmi i coefficienti di Fourier integrando la forzante e l' autofunzione sull' intervallo.
Una volta calcolato, riscrivo l' equazione di partenza utilizzando Fourier raccogliendo tutto a primo membro e, sottolineando l' ortonormalità della autofunzioni, ottengo una equazione differenziale di primo grado risolvibile etc etc...
La mia domanda è, quando la forzante, come in questo caso è solamente spazio-dipendente, come tratto il problema? Come influenza il sistema la presenza di questa forza? in nessun modo? non la devo considerare?
Non trovo un esempio simile da nessuna parte.

[gugo82]

Sono un po’ arrugginito su questi contazzi, ma dopo cena cerco di darci un’occhiata.
Se hai la pazienza di aspettare un paio d’ore…

[merioo93]

Grazie @gugo82. Una cosa: la ‘f’ considerala come una ‘f pedice zero’, cioè un costante moltiplicativa al seno.

[gugo82]

Innanzitutto, nota che ogni funzione che dipenda solo da $x$ la puoi considerare come funzione dipendente anche da $t$ (e costante rispetto a tale variabile); dunque il metodo generale si applica senza grosse modifiche.

Tuttavia, il “metodo generale” non me lo ricordo, quindi devo aguzzare un po’ l’ingegno.

Mi pare che, in questo caso, si possa ragionare in maniera molto più semplice: basta ricondurre il problema con forzante e dati iniziali nulli ad un problema ausiliario omogeneo (forzante nulla) con dati iniziali non nulli.
La nostra forzante $f(x) := f_0 * sin( (3 pi)/L x)$ è la derivata seconda rispetto ad $x$ della funzione $F(x) := - f_0/(omega^2) * sin( omega x)$ (da ora in avanti, per comodità, pongo $omega := (3 pi)/L$), i.e. $f(x) = (partial^2 F)/(partial x^2)$; conseguentemente la PDE si riscrive $(partial u)/(partial t) - B * (partial^2 u)/(partial x^2) - (partial^2 F)/(partial x^2) = 0$, ossia $(partial u)/(partial t) - B * (partial^2 u)/(partial x^2) - B * (partial^2 F/B)/(partial x^2) = 0$ e dunque $(partial u)/(partial t) - B * (partial^2)/(partial x^2) [ u - 1/B * F] = 0$.
Dato che $(partial )/(partial t) [1/B * F(x)] = 0$, introducendo l’incognita ausiliaria $v(x,t) := u(x,t) - 1/B * F(x)$, la PDE si riscrive come equazione del calore omogenea $(partial v)/(partial t) - B * (partial^2 v)/(partial x^2) = 0$; d’altra parte, risulta pure $v(0, t) = u(0, t) - 1/B * F(0) = 0$, $v(L, t) = u(L, t) - 1/B * F(L) = 0$ e $v(x, 0) = u(x, 0) - 1/B * F(x) = f_0/(B omega^2) * sin (omega x)$; quindi il problema di Cauchy assegnato si riduce al seguente:

$\{ ((partial v)/(partial t) - B * (partial^2 v)/(partial x^2) = 0, text(, per ) 0 < x < L text( e ) t > 0 ), (v(0, t) = 0, text(, per ) t >= 0), (v(L, t) = 0, text(, per ) t >= 0), (v(x, 0) = f_0/(B omega^2) * sin (omega x), text(, per ) 0 <= x <= L) :}$

che mi pare si risolva in maniera semplice (basta separare le variabili).

Prova un po’ e dimmi che ne viene fuori.

[merioo93]

@gugo82 ti ringrazio ancora! Il tuo ragionamento è perfetto, purtroppo però all' esame devo procedere operando Fourier... In ogni caso ho recepito la questione che siccome la forzante non riporta la variabile 'tempo' non significa che non sia tempo-dipendente ovviamente. Correggimi se sbaglio.
Sulla base di ciò ho ricalcolato secondo Fourier, sia il problema iniziale, sia il tuo problema, ed entrambi mi vengono con soluzione nulla. Sinceramente non saprei risolvere in altro modo il problema da te trovato, per il quale affermi possa essere risolto facilmente

[gugo82]

Se non posti i calcoli, non ho modo di dirti se e cosa (eventualmente) sbagli.

Per quanto riguarda il problema che hai proposto e quello ausiliario che ho scritto, vediamo un po’ che si può fare…

Cerchiamo $v$ separando le variabili, ossia nella forma $v(x,t) := X(x) * T(t)$ con $X$ definita in $[0,L]$ e $T$ definita in $[0,+oo[$.

1. Abbiamo $(partial v)/(partial t) = X * dot(T)$ e $(partial^2 v)/(partial x^2) = X^” * T$ (con il puntino denoto la derivata “temporale” e con gli apici quella “spaziale”), sicché la PDE si può scrivere separando le variabili nella forma $(dot(T))/T = B * (X^”)/X$; dato che ognuno dei due membri dipende da variabili diverse, esiste qualche costante di separazione $lambda$ tale che risulti $(dot(T))/T = - lambda = B * (X^”)/X$ ossia contemporaneamente $dot(T) + lambda * T = 0$ e $X^” + lambda/B * X = 0$.

2. Imponendo le condizioni al bordo, si trova $X(0) = 0 = X(L)$, dunque la funzione $X$ soddisfa il problema agli estremi:

$\{ (X^” (x) + lambda/B * X(x) = 0, text(, per ) 0 < x < L), (X(0) = 0, text( )), (X(L) = 0, text( )) :}$

che ha soluzione non identicamente nulla (perché? fai i conti!) solo se $ lambda/B > 0$ ed in particolare se $lambda/B = ((n pi)/L)^2$, ossia se $lambda = lambda_n := ((n pi)/L)^2 * B$ con $n in NN setminus \{ 0\}$, e le corrispondenti soluzioni sono del tipo $X(x) = X_n (x) := a_n sin( (n pi)/L x)$ con $c_n in RR$.

3. Trovate le funzioni “spaziali”, determiniamo quelle “temporali” associate ai $lambda_n$.
La EDO da risolvere è $dot(T)(t) + lambda_n T(t) = 0$ ed ha come soluzione gli esponenziali $T(t) = T_n (t) := b_n e^(- ((n pi)/L)^2 * B * t)$ con $b_n in RR$.

Dunque ad ogni numero naturale non nullo $n$ è associata una funzione $v_n(x,t) := X_n (x) * T_n (t)$ che, a meno di far collassare tutte le costanti arbitrarie in una sola, è $v_n (x,t) = C_n * e^(- ((n pi)/L)^2 * B * t) sin((n pi)/L * x)$ con $C_n in NN$ ed ognuna di tali funzioni soddisfa la PDE e le condizioni al bordo.

4. Visto che la PDE è lineare e le condizioni al bordo sono omogenee, ogni somma finita del tipo $v(x,t) := sum_(n=1)^N C_n * e^(- ((n pi)/L)^2 * B * t) sin((n pi)/L * x)$ (con $N >= 1$) è una soluzione della PDE che soddisfa le condizioni al bordo.
Con un avventuroso passaggio al limite, possiamo dire che la “soluzione generale” del nostro problema si ottiene sommando “tutte” le funzioni $v_n$, i.e. che la soluzione del nostro problema è del tipo $v(x,t) = sum_(n=1)^oo C_n * e^(- ((n pi)/L)^2 * B * t) sin((n pi)/L * x)$; pertanto, rimangono da determinare i coefficienti $C_n$ in modo che venga soddisfatta la condizione iniziale $v(x,0) = f_0 * sin((3 pi)/L * x)$.
Volendo soddisfare l’uguaglianza $v(x,0) = f_0 * sin( (3 pi)/L * x)$ c’è bisogno che $sum_(n=1)^oo C_n * sin((n pi)/L * x) = (f_0 L^2)/(9 pi^2 B) * sin( (3 pi)/L * x)$ e ciò si verifica se e solo se $C_3 = (f_0 L^2)/(9 pi^2 B)$ e $C_n = 0$ per ogni $n != 3$; quindi la soluzione del nostro problema ausiliario è $v(x,t) = (f_0 L^2)/(9 pi^2 B) * e^(- ((3 pi)/L)^2 * B * t) * sin((3 pi)/L * x)$.

Finale. Ne viene che la soluzione del problema iniziale è $u(x,t) = v(x,t) + 1/B F(x) = (f_0 L^2)/(9 pi^2 B) * e^(- ((9 pi^2 B)/L^2 * t)) * sin((3 pi)/L * x) - (f_0 L^2)/(9 pi^2 B) * sin( (3 pi)/L * x)$, ossia:

$u(x,t) = (f_0 L^2)/(9 pi^2 B) * ( e^(- ((9 pi^2 B)/L^2 * t)) - 1 ) * sin ( (3 pi)/L * x)$.