Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Calcolare $\int_C dz/(z^4+z^3-2z^2) dz$ dove $C:t->3e^(it)$ con $t in [0,2pi]$.
Io ho pensato di fare con il teorema dei residui, ovvero $\int_C dz/(z^4+z^3-2z^2) dz=2pi i(\sum_{z_0}res_{z_0}(1/(z^4+z^3-2z^2)))$ dove $z_0$ sono i poli di $1/(z^4+z^3-2z^2)$ nel disco di raggio $3$ centrato in $0$, tali poli sono $0,1,-2$. Abbiamo che $0$ è un polo di ordine 2, per cui $res_{0}(1/(z^4+z^3-2z^2))=-1/4$, mentre gli altri due sono poli di ordine 1 per cui $res_{1}(1/(z^4+z^3-2z^2))=1/3$ e $res_{-2}(1/(z^4+z^3-2z^2))=-1/12$, per cui ...
Siano $f,g$ analitiche in un intorno di $z_0$, con $f(z_0)!=0$ e $g(z_0)=0$ zero semplice, mostrare che $res(f/g,z_0)=f(z_0)/(g'(z_0))$
Io fatto cosi:
siccome $f,g$ analitiche in un intorno di $z_0$, posso usare lo sviluppo di Taylor centrato in $z_0$ e abbiamo $f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+...$ e $g(z)=g(z_0)+g'(z_0)(z-z_0)+...=g'(z_0)(z-z_0)+...$, ora dato che $z_0$ è uno zero semplice allora $g'(z_0)!=0$, per cui per $g$ facciamo uno sviluppo di ...
Salve, non so se è il posto giusto per esprimere questo dubbio ma io ci provo:
Ho questa funzione da antitrasformare:
\(-\frac{6s + 6}{(18s^2 + 23s + 10)s}
\)
Una volta scomposta in fratti semplici e trovato i coefficienti:
\( -\frac{6s + 6}{(18s^2 + 23s + 10)s} = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{\frac{54}{5}s + \frac{39}{5}}{18s^2 + 23s + 10}
\)
E' sufficiente scrivere l'antitrasformata come:
$f(t) = -3/5 + e^(-0,639t) (54/9 cos(0,384t) + 39/5 sin(0,384t))$
Dove
$-0,639$
è la parte reale del polo complesso e coniugato ...
Classificare le singolarità della funzione $f(z)=z/sin(z)$, dire cioè se si tratta di singolarità rimovibili ( in tal caso dire quale valore va dato alla funzione affinchè risulti olomorfa in quel punto), poli (in tal caso dire di che ordini) o singolarità essenziali.
Abbiamo che $f(z)=(2ize^(iz))/(e^(2iz)-1)$, se sviluppiamo la funzione in serie di Taylor in un intorno di $0$ otteniamo $(2iz)/(2iz)=1$ quindi $0$ è una singolarità rimovibile e il valore che va dato alla ...
Ho un dubbio sull'appartenenza di f=/frac{x}{(1+x^2)} a L^1. In un tema d'esame, viene chiesto se questa funzione appartiene all'intersecazione di L^1(R) e L^2(R). Nelle risposte dice che appartiene a L^2 ma non a L^1. Che appartiene a L^2 non ho problemi ma mi esce he dovrebbe anche appartenere a L^1 essendo che l'integrando tende a zero a + e - infinito ed e limitato nel resto dell'intervallo di definizione.
Grazie in anticipa a chi riuscirebbe a chiarirmi le idee.
Calcolare $phi(R)= \int_{\gamma}z/(e^z-e^-z) dz$ dove $\gamma_R$ è la frontiera del disco ${z \in CC| abs(z)<R}$ (orientata in senso antiorario) per $R=1,4,6$.
Ci basta usare la formula dei residui, andando a calcolare i poli di $z/(e^z-e^-z)$ che sono presenti nel disco ${z \in CC| abs(z)<R}$, se $R=1$ abbiamo solamente una singolarità rimovibile in $0$ e quindi nessun polo, quindi la somma dei residui è nulla e quindi l'integrale è nullo. Se $R=4, 6$ abbiamo due poli ...
Mostrare che tre delle quattro radici del polinomio $z^4-7z-1$ hanno modulo più grande di uno.
Per il teorema fondamentale dell'algebra sappiamo che il polinomio ha $4$ radici. Sia $D={z in CC| abs(z)<1}$, consideriamo le funzioni $f(z)=-7z-1$ e $g(z)=z^4$ olomorfe, si ha che per ogni $z$ nel bordo di $D$ vale
$abs(f(z))>abs(g(z))$ e quindi sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rouche per cui il numero di zeri contanti con molteplicità ...
La funzione $f$ tale che l'immagine di un numero complesso di modulo $\rho$ e argomento $\theta$ ha modulo $2 \rho$ e argomento $2 \theta$ è olomorfa?
Io ho pensato di fare così:
Abbiamo $\rhoe^(i \theta)=x+iy$ e quindi $e^(i \theta)=(x+iy)/ \rho=(x+iy)/sqrt(x^2+y^2)$, ma allora
$f(x+iy)=f(\rhoe^(i \theta))=2\rhoe^(2i \theta)=2rhoe^(i \theta) e^(i \theta)=2(x+iy)(x+iy)/sqrt(x^2+y^2)=(2(x^2-y^2))/sqrt(x^2+y^2)+i(4xy)/sqrt(x^2+y^2)$ e se proviamo a verificare le equazione di Cauchy-Riemann esse non vengono verificate e quindi $f$ non è olomorfa. Volevo sapere se andasse bene e se per caso ci fosse ...
Esiste una funzione olomorfa $f:CC->CC$ la cui parte reale sia la funzione $u(x,y)=x^4+2y^4-2x^2y^2$?
Allora io ho pensato di fare cosi:
Sia $v$ la parte immaginaria della funzione $f$ (supposta che essa esista), allora dovrebbero valere le equazioni di Cauchy-Riemann:
$\{((delv)/(dely)=(delu)/(delx)),((delv)/(delx)=-(delu)/(dely)):}$
ovvero
$\{((delv)/(dely)=4x^3-4xy^2),((delv)/(delx)=4x^2y-8y^3):}$
Ora usando la prima equazione otteniamo $v=4x^3y-4/3xy^3+s(x)$ dove $s(x)$ è un polinomio in $x$. Allora $(delv)/(delx)=12x^2y-4/3y^3+s'(x)$ e dalla ...
f∈ L↑ p⇒ ∀ε>0 ∃ g:
|f-g |p < ε con il supporto di g appartenente a (-A,A).
Ciao!
Sto calcolando la derivata distribuzionale della funzione a tratti:
$ f= { ( 0 ),( -n ),( n ):} $
rispettivamente per $ |x|>1/n $, $-1/n<x<0$, $ 0<x<1/n $.
Il risultato che trovo io è, considerando gli stessi intervalli:
$ f'={ ( 0 ),( -n delta (x+1/n)-ndelta (x)),( n delta (x)+ndelta (x-1/n)):} $
Invece quello corretto del professore:
$ f'= -ndelta (x+1/n) + 2ndelta (x)-ndelta (x-1/n) $
Mi sfugge qualcosa, qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
Dopo di che la richiesta era quella di calcolare il $lim f', n-> oo$
La risoluzione è:
scegliendo una ...
Buonasera a tutti. Ho qualche difficoltà a determinare la trasformata di Fourier della seguente funzione:
\(\displaystyle x(t)=u(t+2)e^{-t(1+i)} \)
La soluzione fornita è la seguente:
\(\displaystyle \mathfrak{F}\left \{ x(t) \right \}=\frac{2e^{-i\omega } \mathrm{sin}(\omega /2)}{\omega } \)
Mi starò perdendo certamente in un bicchier d'acqua ma, nonostante stia cercando di approcciarlo in vari modi, non ne vego a capo. Ad esempio, stavo pensando di riscrivere la funzione ...
Ciao a tutti,
propongo un esercizio. Vorrei che mi diceste se i passaggi sono corretti. Grazie.
$ x(t) = p_(2T)(t) $ con $T>0 $ , dove $p_(2T)(t) $ è la funzione porta di periodo $2T$.
Si pone $ y(t) := (x ** x )(t) $ . Allora:
1) $y(t) >= 0$ per ogni $t in mathbb(R) $ ; (VERO)
2) $ y'(t) = sgn(t)*p_(2T)(t) $ nel senso delle distribuzioni; (FALSO)
3) $ int_(-oo )^(+oo ) y(t)dt=2T $ . (FALSO)
Devo rispondere, per ognuna, VERO o FALSO.
La mia risoluzione è la ...
Ciao a tutti, vorrei una mano per capire il seguente esercizio:
Ricordando che la trasformata di Fourier di $f(x)=e^(-x^2/2)$ è $\hat(f)(k)=sqrt(2pi)e^(-k^2/2)$, determinare la trasformata di Fourier di $g(x)=\int_{-infty}^{infty}e^(-(x-y)^2)/(y^2+1)dy$.
Anche se il testo non la cita, penso che l'unico modo (oppure il più veloce) per uscirne è usare la convoluzione ossia, data la forma di $g(x)$ posso scrivere $\hat(g)(k)=\hat(h)(k)\hat(psi)(k)$.
Dove $h(x)=e^(-x^2)$ e $psi(x)=1/(x^2+1)$.
$\hat(h)(k)$ me la ricavo facilmente da ...
Ciao a tutti, ho dei problemi con dei sviluppi di Laurent che secondo me sono banali ma a quanto pare non abbastanza per non averci problemi.
L'esercizio recita: Per ciascuna delle seguenti funzioni si scrivano i termini con potenza negativa dei corrispondenti sviluppi in serie di Laurent centrati in z = 0 (qualora esistano), specificandone la natura della singolarità in z = 0.
$f(z)=1/(z^3sinhz)$
Sviluppo in serie di Taylor con centro in $z_0=0$ e ottengo:
$sinh(z)= z+z^3/6+z^5/120+...=\sum_{n=0}^infty z^(2n+1)/((2n+1)!)$
Invece ...
Sto cercando di svolgere un esercizio proposto in un libro.
L'esercizio richiede l'individuazione dei punti di diramazione e il disegno della "superficie di Riemann compatta" della seguente funzione.
\[f(z)=(1 - z^{4})^{1/2}\]
Penso che i punti di diramazione della precedente funzione sono 5 e precisamente i seguenti.
\[z=1\]
\[z=-1\]
\[z=i\]
\[z=-i\]
\[z= \infty\]
Penso che la "superficie di Riemann non compatta" è costituita da 2 "fogli" detti anche "rami".
Chiedo quanto segue. ...
In un libro ho letto che la seguente funzione
\[f(z)=(1 - z^{3})^{1/2}\]
ha uno dei punti di diramazione in
\[z= \infty\]
Dopo un po di studio, mi sono venuti dei dubbi sulla veridicità di questa affermazione.
Mi sapete dire se ciò è vero, oppure no ?
Ciao a tutti, preparandomi per l'esame di metodi e modelli matematici, mi sono imbattuto il questo integrale di cui non ho la più pallida idea di come risolvere:
$\int_{0}^{infty} 1/(x^(1/3)(4+x)) dx$
La richiesta è di risolverlo e di scrivere esplicitamente il percorso di integrazione.
Effettuando la sostituzione $x=z$ passo all'integrale:
$\oint_gamma 1/(z^(1/3)(4+z)) dx$
Le singolarità sono $z=0$ e $z=-4$ e sono polari.
Il percorso che ho scelto è ($R>r$):
$gamma_1(x)=xe^(i(3pi/2))$, ...
Salve a tutti,
Sto preparando l'esame di Metodi Matematici per l'ingegneria.
Uno degli esercizi richiesti dalla professoressa è quello di determinare che l'integrale sia a Valor Principale.
Quando posso concludere che l'integrale sia a valor principale? Ad esempio, attraverso l'analisi delle singolarità?
Trovare un campo di spostamenti $u: [0, L] \rightarrow \RR $ tale che
$\frac{"d"^2}{"d"x^2}(EI \frac{"d"^2 u}{"d"x^2}) = f + \xi $ in $(0, L) $,
$u \ge g $, $\xi \ge 0 $, $ \xi(g - u) = 0 $ in $(0, L) $,
$u(0) = \frac{"d"u}{"d"x}(0) = 0 $,
$ \frac{"d"^2 u}{"d"x^2}(0) = \frac{"d"^3 u}{"d"x^3}(0) = 0 $
Ciao a tutti,
Sto cercando di risolvere numericamente questo problema con disuguaglianze variazionali, si tratta semplicemente di una trave di Eulero-Bernoulli soggetta a carico f, che nel mio caso ho scelto unitario e costante e in presenza di un ostacolo g. Per quanto ...
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