Residuo di un quoziente di funzioni analitiche

[Angus1956]

Siano $f,g$ analitiche in un intorno di $z_0$, con $f(z_0)!=0$ e $g(z_0)=0$ zero semplice, mostrare che $res(f/g,z_0)=f(z_0)/(g'(z_0))$

Io fatto cosi:

siccome $f,g$ analitiche in un intorno di $z_0$, posso usare lo sviluppo di Taylor centrato in $z_0$ e abbiamo $f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+...$ e $g(z)=g(z_0)+g'(z_0)(z-z_0)+...=g'(z_0)(z-z_0)+...$, ora dato che $z_0$ è uno zero semplice allora $g'(z_0)!=0$, per cui per $g$ facciamo uno sviluppo di Taylore fino al primo ordine.
Otteniamo $f/g=f(z_0)/(g'(z_0))*1/(z-z_0)+(f'(z_0))/(g'(z_0))+...$, ma allora $res(f/g,z_0)=text{coefficiente del termine } 1/(z-z_0)=f(z_0)/(g'(z_0))$.

Può andare bene?

[pilloeffe]

Mi pare corretto.