Derivata distribuzionale
Ciao!
Sto calcolando la derivata distribuzionale della funzione a tratti:
$ f= { ( 0 ),( -n ),( n ):} $
rispettivamente per $ |x|>1/n $, $-1/n
Il risultato che trovo io è, considerando gli stessi intervalli:
$ f'={ ( 0 ),( -n delta (x+1/n)-ndelta (x)),( n delta (x)+ndelta (x-1/n)):} $
Invece quello corretto del professore:
$ f'= -ndelta (x+1/n) + 2ndelta (x)-ndelta (x-1/n) $
Mi sfugge qualcosa, qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
Dopo di che la richiesta era quella di calcolare il $lim f', n-> oo$
La risoluzione è:
scegliendo una $phi in D$:
$ = -n phi(-1/n) +2n phi(0) - nphi(1/n) $
(mi sembra di intuire che la $phi$ abbia preso il posto della $delta$.)
Probabilmente mi manca qualche informazione teorica. Sul libro che possiedo (matematica per l'ingegneria dell'informazione) non trovo niente al riguardo. Inoltre non trovo aiuti su internet. Sapreste consigliarmi dei pdf ai quali affidarmi per capire meglio questi argomenti?
Grazie
Sto calcolando la derivata distribuzionale della funzione a tratti:
$ f= { ( 0 ),( -n ),( n ):} $
rispettivamente per $ |x|>1/n $, $-1/n
Il risultato che trovo io è, considerando gli stessi intervalli:
$ f'={ ( 0 ),( -n delta (x+1/n)-ndelta (x)),( n delta (x)+ndelta (x-1/n)):} $
Invece quello corretto del professore:
$ f'= -ndelta (x+1/n) + 2ndelta (x)-ndelta (x-1/n) $
Mi sfugge qualcosa, qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
Dopo di che la richiesta era quella di calcolare il $lim f', n-> oo$
La risoluzione è:
scegliendo una $phi in D$:
$
(mi sembra di intuire che la $phi$ abbia preso il posto della $delta$.)
Probabilmente mi manca qualche informazione teorica. Sul libro che possiedo (matematica per l'ingegneria dell'informazione) non trovo niente al riguardo. Inoltre non trovo aiuti su internet. Sapreste consigliarmi dei pdf ai quali affidarmi per capire meglio questi argomenti?
Grazie
Risposte
Applicando la definizione:
Più sinteticamente, poichè ad ogni punto di discontinuità di prima specie corrisponde una delta moltiplicata per il valore del salto:
$\int_{-1/n}^{0}n(d\phi)/(dx)dx-\int_{0}^{1/n}n(d\phi)/(dx)dx=$
$=n[\phi(0)-\phi(-1/n)-\phi(1/n)+\phi(0)]=$
$=n[-\phi(-1/n)+2\phi(0)-\phi(1/n)]=$
$=n[-\delta(x+1/n)+2\delta(x)-\delta(x-1/n)]$
Più sinteticamente, poichè ad ogni punto di discontinuità di prima specie corrisponde una delta moltiplicata per il valore del salto:
$-n\delta(x+1/n)+2n\delta(x)-n\delta(x-1/n)$
E riguardo il limite? Cosa è stato effettuato ?
Il limite non è mai stato affrontato. Ad ogni modo, poichè:
Vero è che andrebbe dimostrato più rigorosamente.
$lim_(n->+oo)n[-\delta(x+1/n)+2\delta(x)-\delta(x-1/n)]=$
$=lim_(n->+oo)n[-\delta(x)+2\delta(x)-\delta(x)]=$
$=lim_(n->+oo)n*0=$
$=0$
Vero è che andrebbe dimostrato più rigorosamente.
Beh $\lim_{n \to +\infty} f' = 0 $, infatti si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} f' = \lim_{n \to +\infty} [-n\delta(x+1/n)+2n\delta(x)-n\delta(x-1/n)] = $
$ = - \lim_{n \to +\infty} (\delta(x+1/n)-\delta(x))/(1/n) + \lim_{n \to +\infty} (\delta(x) - \delta(x-1/n))/(1/n) = $
$ = - \lim_{n \to +\infty} (\delta(x+1/n)-\delta(x))/(1/n) + \lim_{n \to +\infty} (\delta(t + 1/n) - \delta(t))/(1/n) = - \delta' + \delta' = 0 $
$ \lim_{n \to +\infty} f' = \lim_{n \to +\infty} [-n\delta(x+1/n)+2n\delta(x)-n\delta(x-1/n)] = $
$ = - \lim_{n \to +\infty} (\delta(x+1/n)-\delta(x))/(1/n) + \lim_{n \to +\infty} (\delta(x) - \delta(x-1/n))/(1/n) = $
$ = - \lim_{n \to +\infty} (\delta(x+1/n)-\delta(x))/(1/n) + \lim_{n \to +\infty} (\delta(t + 1/n) - \delta(t))/(1/n) = - \delta' + \delta' = 0 $
"pilloeffe":
Beh ...
Di fatto, hai trattato una distribuzione singolare alla stregua di una funzione ordinaria. Per rigorosamente intendevo una dimostrazione in cui, non dando nulla per scontato, non compaia la distribuzione singolare e compaiano le funzioni di prova:
$lim_(n->+oo)\int_{-1/n}^{0}n(d\phi)/(dx)dx-\int_{0}^{1/n}n(d\phi)/(dx)dx=$
$=lim_(n->+oo)n[\phi(0)-\phi(-1/n)-\phi(1/n)+\phi(0)]=$
$=lim_(n->+oo)n[-\phi(-1/n)+2\phi(0)-\phi(1/n)]$
Lascio a Martyyyns concludere.
"Noodles":
Per rigorosamente intendevo una dimostrazione in cui, non dando nulla per scontato, non compaia la distribuzione singolare e compaiano le funzioni di prova
Non ho mai scritto che la mia dimostrazione fosse rigorosa, ma è più corretta di quella che:
"Noodles":
Ad ogni modo, poiché:
$ \lim_(n \to +\infty) n[-\delta(x+1/n)+2\delta(x)-\delta(x-1/n)] = $
$ = \lim_(n \to +\infty) n[-\delta(x)+2\delta(x)-\delta(x)] = $
$ = \lim_(n \to +\infty) n*0 = $
$ = 0 $
Non è corretto passare al limite per $n \to +\infty $ solo il secondo fattore tra parentesi quadre, attendere che risulti $0$, e successivamente passare al limite per $n \to +\infty $ il primo fattore $n$ davanti alla parentesi quadre: di fatto si tratta di una forma indeterminata $+\infty \cdot 0 $ che hai risolto facendo arbitrariamente prevalere il fattore che tende a $0$ fra parentesi quadre rispetto al primo fattore $n \to +\infty $
"Noodles":
$ [...]=\lim_{n \to +\infty} n[−\phi(−1/n)+2\phi(0)−\phi(1/n)] $
Lascio a Martyyyns concludere.
Per l'ultimo limite che hai scritto si può fare per $\phi $ un ragionamento analogo a quello che ho fatto nel mio post precedente.
"pilloeffe":
Non è corretto passare al limite per ...
Ovvio, trattandosi di una forma indeterminata. Motivo per cui avevo scritto che andava dimostrato più rigorosamente. Vero è che, di rigoroso, c'era ben poco. Ad ogni modo, per una strana coincidenza, riporto il link ad una recente discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=238355
in cui avevi considerato errato un passaggio che, non trattandosi di una forma indeterminata, errato non era. Inutile dire che non è mia intenzione polemizzare. Tra l'altro, per quanto riguarda questa discussione, io avrei concluso mediante gli sviluppi in serie. Insomma, mi era sfuggito il tuo artificio, senza dubbio più elegante.
"Noodles":
riporto il link ad una recente discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=238355
in cui avevi considerato errato un passaggio che, non trattandosi di una forma indeterminata, errato non era.
... E continuo a considerarlo errato, se non altro didatticamente: il teorema sul prodotto dei limiti afferma che il limite del prodotto di due o più funzioni è uguale al prodotto dei due o più limiti se questi esistono e sono dei numeri reali non nulli o comunque che non danno luogo a forme indeterminate, ma prima di calcolarli non sappiamo se i limiti esistono (certo, nella maggior parte degli esercizi sarà proprio così, ma non è detto...). Didatticamente, ritengo sia molto meglio abituare a passare al limite simultaneamente per tutte le funzioni che compongono un prodotto, non "a rate"...
Se ti mancano, come credo, anche le nozioni base di teoria, in questo vecchio post trovi un riassunto abbastanza utile e succinto.
Per tornare all'esercizio, osserva che -ad esempio- la tua $f_3$ ha un grafico del tipo:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-6; ymax=6;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-4,0], [-0.333,0]); line([-0.333,-3],[0,-3]); line([0,3],[0.333,3]); line([0.333,0],[4,0]);[/asvg]
e la sua derivata distribuzionale si calcola graficamente osservando i salti e concentrando degli impulsi di pari ampiezza nei punti di discontinuità:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-5; ymax=7;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; marker="arrow";
line([-0.333,0],[-0.333,-3]); line([0,0],[0,6]); line([0.333,0],[0.333,-3]);[/asvg]
Le altre $f_n$ hanno grafici e derivate simili.
Ora, facendo tendere $n -> +oo$, i due impulsi negativi (di ampiezza $-n$) si concentrano in $0$, dove è concentrato l'impulso positivo (di ampiezza $2n$); sommando le ampiezze, si vede che esse si annullano, quindi il limite distribuzionale di \(f_n^\prime\) dovrebbe essere $0$.
Per verificare, basta applicare la definizione: fissato arbitrariamente un test $\phi$, la distribuzione \(g := \lim_n f_n^\prime \) è definita ponendo:
\[
\langle g, \phi \rangle := \lim_n \langle f_n^\prime , \phi \rangle
\]
da cui:
\[
\begin{split}
\langle g, \phi \rangle &:= \lim_n \langle -n\ \delta (x + 1/n) + 2n\ \delta (x) - n\ \delta (x - 1/n), \phi \rangle\\
&= \lim_n -n\ \phi(-1/n) + 2n\ \phi(0) - n\ \phi(1/n) \\
&= \lim_n -n\ \phi(-1/n) + n\ \phi(0) - n\ \phi(1/n) + n\ \phi(0) \\
&= \lim_n \frac{\phi (-1/n) - \phi (0)}{- 1/n} - \frac{\phi (1/n) - \phi(0)}{1/n} \\
&= \phi^\prime (0) - \phi^\prime (0)\\
&= 0
\end{split}
\]
quindi $g=0$ come volevamo.
Osserva che una verifica formale del risultato ottenuto con un ragionamento grafico è sempre opportuna, perché possono succedere cose abbastanza controintuitive quando si opera con gli impulsi e le loro derivate.
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-6; ymax=6;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-4,0], [-0.333,0]); line([-0.333,-3],[0,-3]); line([0,3],[0.333,3]); line([0.333,0],[4,0]);[/asvg]
e la sua derivata distribuzionale si calcola graficamente osservando i salti e concentrando degli impulsi di pari ampiezza nei punti di discontinuità:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-5; ymax=7;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; marker="arrow";
line([-0.333,0],[-0.333,-3]); line([0,0],[0,6]); line([0.333,0],[0.333,-3]);[/asvg]
Le altre $f_n$ hanno grafici e derivate simili.
Ora, facendo tendere $n -> +oo$, i due impulsi negativi (di ampiezza $-n$) si concentrano in $0$, dove è concentrato l'impulso positivo (di ampiezza $2n$); sommando le ampiezze, si vede che esse si annullano, quindi il limite distribuzionale di \(f_n^\prime\) dovrebbe essere $0$.
Per verificare, basta applicare la definizione: fissato arbitrariamente un test $\phi$, la distribuzione \(g := \lim_n f_n^\prime \) è definita ponendo:
\[
\langle g, \phi \rangle := \lim_n \langle f_n^\prime , \phi \rangle
\]
da cui:
\[
\begin{split}
\langle g, \phi \rangle &:= \lim_n \langle -n\ \delta (x + 1/n) + 2n\ \delta (x) - n\ \delta (x - 1/n), \phi \rangle\\
&= \lim_n -n\ \phi(-1/n) + 2n\ \phi(0) - n\ \phi(1/n) \\
&= \lim_n -n\ \phi(-1/n) + n\ \phi(0) - n\ \phi(1/n) + n\ \phi(0) \\
&= \lim_n \frac{\phi (-1/n) - \phi (0)}{- 1/n} - \frac{\phi (1/n) - \phi(0)}{1/n} \\
&= \phi^\prime (0) - \phi^\prime (0)\\
&= 0
\end{split}
\]
quindi $g=0$ come volevamo.
Osserva che una verifica formale del risultato ottenuto con un ragionamento grafico è sempre opportuna, perché possono succedere cose abbastanza controintuitive quando si opera con gli impulsi e le loro derivate.
Ho capito tutto, vi ringrazio del tempo che avete dedicato alla risposta.
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