Esercizio Convoluzione di segnali
Ciao a tutti,
propongo un esercizio. Vorrei che mi diceste se i passaggi sono corretti. Grazie.
$ x(t) = p_(2T)(t) $ con $T>0 $ , dove $p_(2T)(t) $ è la funzione porta di periodo $2T$.
Si pone $ y(t) := (x ** x )(t) $ . Allora:
1) $y(t) >= 0$ per ogni $t in mathbb(R) $ ; (VERO)
2) $ y'(t) = sgn(t)*p_(2T)(t) $ nel senso delle distribuzioni; (FALSO)
3) $ int_(-oo )^(+oo ) y(t)dt=2T $ . (FALSO)
Devo rispondere, per ognuna, VERO o FALSO.
La mia risoluzione è la seguente:
----------------
1) $ (x**x)(t) = int_(-oo )^(+oo) x(t-s)x(s)ds= int_(-oo )^(+oo) p_(2T)(t-s)p_(2T)(s)ds = int_(-T)^(T)p_(2T)(t-s)ds$
$ p_(2T)(t-s)= { ( 1 rarr -T
$ { ( t+T<0rarr t<-T),( -T0rarrt>T ):} $
quindi
$ y(t)=int_(-T)^(T) p_(2T)(t-s)ds = { ( 0rarrt<-T ),( int_(t-T)^(t+T)(1)* ds rarr-TT ):} = { ( 0rarrt<-T ),( 2T rarr-TT ):}$
tenendo presente che il risultato è positivo e che non dipente da $t$ allora $y(t) >= 0 $ per ogni $t in mathbb(R) $.
----------------
2) $ y^d(t)={ ( 0rarrt<-T ),( 0 rarr-TT ):} $
salti: $ { ( t_1=-T ),( [[y]]_-T=1 ):} { ( t_2=T ),( [[y]]_T=-1 ):} $
$ p'_(2T)(t)=0+1*delta(t+T)-1*delta(t-T) = delta(t+T)-delta(t-T) !=sgn(t)*p_(2T)(t) $
----------------
3) In realtà $ int_(-T )^(+T) y(t)dt=2T $. Cambiano gli estremi di integrazione.
Corretto?
Grazie.
propongo un esercizio. Vorrei che mi diceste se i passaggi sono corretti. Grazie.
$ x(t) = p_(2T)(t) $ con $T>0 $ , dove $p_(2T)(t) $ è la funzione porta di periodo $2T$.
Si pone $ y(t) := (x ** x )(t) $ . Allora:
1) $y(t) >= 0$ per ogni $t in mathbb(R) $ ; (VERO)
2) $ y'(t) = sgn(t)*p_(2T)(t) $ nel senso delle distribuzioni; (FALSO)
3) $ int_(-oo )^(+oo ) y(t)dt=2T $ . (FALSO)
Devo rispondere, per ognuna, VERO o FALSO.
La mia risoluzione è la seguente:
----------------
1) $ (x**x)(t) = int_(-oo )^(+oo) x(t-s)x(s)ds= int_(-oo )^(+oo) p_(2T)(t-s)p_(2T)(s)ds = int_(-T)^(T)p_(2T)(t-s)ds$
$ p_(2T)(t-s)= { ( 1 rarr -T
$ { ( t+T<0rarr t<-T),( -T
quindi
$ y(t)=int_(-T)^(T) p_(2T)(t-s)ds = { ( 0rarrt<-T ),( int_(t-T)^(t+T)(1)* ds rarr-T
tenendo presente che il risultato è positivo e che non dipente da $t$ allora $y(t) >= 0 $ per ogni $t in mathbb(R) $.
----------------
2) $ y^d(t)={ ( 0rarrt<-T ),( 0 rarr-T
salti: $ { ( t_1=-T ),( [[y]]_-T=1 ):} { ( t_2=T ),( [[y]]_T=-1 ):} $
$ p'_(2T)(t)=0+1*delta(t+T)-1*delta(t-T) = delta(t+T)-delta(t-T) !=sgn(t)*p_(2T)(t) $
----------------
3) In realtà $ int_(-T )^(+T) y(t)dt=2T $. Cambiano gli estremi di integrazione.
Corretto?
Grazie.
Risposte
Ci sono degli errori.
La $y(t)$ ha la forma di un triangolo isoscele. Inizia a $t=-2T$, poi sale fino a $t=0$, dove ha valore $2T$, poi scende per arrivare a zero a $2T$.
Devi rivedere le tue risposte alla luce di questo.
La $y(t)$ ha la forma di un triangolo isoscele. Inizia a $t=-2T$, poi sale fino a $t=0$, dove ha valore $2T$, poi scende per arrivare a zero a $2T$.
Devi rivedere le tue risposte alla luce di questo.
Vai su questa pagina https://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione e guarda la gif in alto a destra.
Vedi che il triangolo inizia a -1 e finisce a 1, la funzione porta inizia a -0,5 e finisce a 0,5.
Vedi che il triangolo inizia a -1 e finisce a 1, la funzione porta inizia a -0,5 e finisce a 0,5.
Ciao,
scusa ma non ho capito gli errori che ho fatto. Le risposte sono quelle perchè corrette dal professore. Io ho solo cercato di fare i conti per arrivare a quelle risposte. Dove sono gli errori?
Grazie.
scusa ma non ho capito gli errori che ho fatto. Le risposte sono quelle perchè corrette dal professore. Io ho solo cercato di fare i conti per arrivare a quelle risposte. Dove sono gli errori?
Grazie.
Si, d'accordo, le risposte VERO/FALSO sono corrette, ma ci arrivi con delle conclusioni sbagliate.
Ad es. la 3) $\int y(t)\ dt = 4T^2$ che e' diverso da $2T$, quindi FALSO. Ma gli estremi di integrazione non c'entrano nulla (e sono anche sbagliati quelli che scrivi tu).
Ad es. la 3) $\int y(t)\ dt = 4T^2$ che e' diverso da $2T$, quindi FALSO. Ma gli estremi di integrazione non c'entrano nulla (e sono anche sbagliati quelli che scrivi tu).
Ciao,
ma la $y(t)$ che ho scritto io è errata? Perché gli estremi di integrazione sono sbagliati?
Grazie.
ma la $y(t)$ che ho scritto io è errata? Perché gli estremi di integrazione sono sbagliati?
Grazie.
"davicos":
Ciao,
ma la $y(t)$ che ho scritto io è errata?
Si e' sbagliata.
Perché gli estremi di integrazione sono sbagliati?
Perche' la $y(t)$ e' diversa da quello che pensi (che ho copiato qui sotto).
$ y(t)= { ( 0rarrt<-T ),( 2T rarr-T
Ciao,
va bene grazie, cerco di rifare il tutto.
Grazie ancora!!
va bene grazie, cerco di rifare il tutto.
Grazie ancora!!
Ciao davicos,
Sul forum sono già stati trattati alcuni dei più comuni casi di convoluzione fra segnali: puoi dare un'occhiata ad esempio qui, qui, qui, ed anche qui.
Sul forum sono già stati trattati alcuni dei più comuni casi di convoluzione fra segnali: puoi dare un'occhiata ad esempio qui, qui, qui, ed anche qui.
Ciao,
grazie mille me li leggerò!
grazie mille me li leggerò!
Aggiungo che non c'era bisogno di fare tutto il conto per risolvere l'esercizio. La 1 è immediatamente vera a occhio. Dovrebbe esserti ovvio che la convoluzione di due funzioni non-negative è non-negativa. Anche la 3 è da farsi a occhio: l'integrale della convoluzione è il prodotto degli integrali. E la 2 non è da meno. Infatti $(x\ast x)'=x'\ast x$, ed è facile calcolare $x'$.
Ciao,
va bene grazie mille ancora!
va bene grazie mille ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo