Esercizio sul verificare che una funzione è olomorfa

[Angus1956]

La funzione $f$ tale che l'immagine di un numero complesso di modulo $\rho$ e argomento $\theta$ ha modulo $2 \rho$ e argomento $2 \theta$ è olomorfa?

Io ho pensato di fare così:

Abbiamo $\rhoe^(i \theta)=x+iy$ e quindi $e^(i \theta)=(x+iy)/ \rho=(x+iy)/sqrt(x^2+y^2)$, ma allora
$f(x+iy)=f(\rhoe^(i \theta))=2\rhoe^(2i \theta)=2rhoe^(i \theta) e^(i \theta)=2(x+iy)(x+iy)/sqrt(x^2+y^2)=(2(x^2-y^2))/sqrt(x^2+y^2)+i(4xy)/sqrt(x^2+y^2)$ e se proviamo a verificare le equazione di Cauchy-Riemann esse non vengono verificate e quindi $f$ non è olomorfa. Volevo sapere se andasse bene e se per caso ci fosse una strada piu diretta senza dover passare dalle coordinate polari a quelle cartesiane, grazie.

[pilloeffe]

Ciao andreadel1988,

In generale mi pare corretto. Nel caso particolare $\rho = 1 $ però la funzione è olomorfa.

[gugo82]

Va bene.

Una funzione del genere, molto "a occhio", è solo $2/|z| z^2$ che non è olomorfa perché dipende da $overline(z)$.

"pilloeffe":Nel caso particolare $\rho = 1 $ però la funzione è olomorfa.

Questo non ha molto senso.

[Angus1956]

"pilloeffe":Ciao andreadel1988,

In generale mi pare corretto. Nel caso particolare $\rho = 1 $ però la funzione è olomorfa.

Si però credo appunto che $\rho$ è un numero reale positivo qualunque, porprio perche voglio definire una funzione da $CC$ a $CC$, comunque grazie