Esercizio con trasformata di Fourier
Buonasera a tutti. Ho qualche difficoltà a determinare la trasformata di Fourier della seguente funzione:
\(\displaystyle x(t)=u(t+2)e^{-t(1+i)} \)
La soluzione fornita è la seguente:
\(\displaystyle \mathfrak{F}\left \{ x(t) \right \}=\frac{2e^{-i\omega } \mathrm{sin}(\omega /2)}{\omega } \)
Mi starò perdendo certamente in un bicchier d'acqua ma, nonostante stia cercando di approcciarlo in vari modi, non ne vego a capo. Ad esempio, stavo pensando di riscrivere la funzione come:
\(\displaystyle x(t)=u(t+2)e^{-(t+2-2)(1+i)}=u(t+2)e^{-(t+2)(j+1)}e^{2(j+1)} \)
Per cui, applicando la trasformata di Fourier e la sua proprietà di traslazione nel tempo, dovrei ottenere:
\(\displaystyle \mathfrak{F}\left \{ x(t) \right \}=e^{2(j+1)}\mathfrak{F}\left \{ u(t+2)e^{-(t+2)(j+1)} \right \}=e^{2(j+1)}\cdot e^{j\omega 2}\cdot \mathfrak{F}\left \{ e^{-(j+1)t}u(t) \right \} \)
E quindi risolvere applicando la definizione:
\(\displaystyle \mathfrak{F}\left \{ e^{-(j+1)t}u(t) \right \}=\int_{-\infty }^{\infty }e^{-(j+1)t}u(t)e^{-iwt}\mathrm{d}t=\int_{0}^{1}e^{-(j+1)t}e^{-iwt}\mathrm{d}t \)
Ma certamente non porta alla soluzione...
Grazie in anticipo.
\(\displaystyle x(t)=u(t+2)e^{-t(1+i)} \)
La soluzione fornita è la seguente:
\(\displaystyle \mathfrak{F}\left \{ x(t) \right \}=\frac{2e^{-i\omega } \mathrm{sin}(\omega /2)}{\omega } \)
Mi starò perdendo certamente in un bicchier d'acqua ma, nonostante stia cercando di approcciarlo in vari modi, non ne vego a capo. Ad esempio, stavo pensando di riscrivere la funzione come:
\(\displaystyle x(t)=u(t+2)e^{-(t+2-2)(1+i)}=u(t+2)e^{-(t+2)(j+1)}e^{2(j+1)} \)
Per cui, applicando la trasformata di Fourier e la sua proprietà di traslazione nel tempo, dovrei ottenere:
\(\displaystyle \mathfrak{F}\left \{ x(t) \right \}=e^{2(j+1)}\mathfrak{F}\left \{ u(t+2)e^{-(t+2)(j+1)} \right \}=e^{2(j+1)}\cdot e^{j\omega 2}\cdot \mathfrak{F}\left \{ e^{-(j+1)t}u(t) \right \} \)
E quindi risolvere applicando la definizione:
\(\displaystyle \mathfrak{F}\left \{ e^{-(j+1)t}u(t) \right \}=\int_{-\infty }^{\infty }e^{-(j+1)t}u(t)e^{-iwt}\mathrm{d}t=\int_{0}^{1}e^{-(j+1)t}e^{-iwt}\mathrm{d}t \)
Ma certamente non porta alla soluzione...
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao jordan20,
Sicuro del testo e del risultato? Non mi pare che antitrasformando la soluzione fornita si ottenga la funzione $x(t)$ originaria...
Più semplicemente userei la definizione osservando che $u(t + 2) $ è nulla ovunque tranne che per $t > - 2 $ dove vale $1$ e quindi l'ultimo integrale che
è certamente errato.
"jordan20":
La soluzione fornita è la seguente:
[tex]\mathfrak{F}\left \{x(t) \right \}=\frac{2e^{-i\omega } \mathrm{sin}(\omega /2)}{\omega }[/tex]
Sicuro del testo e del risultato? Non mi pare che antitrasformando la soluzione fornita si ottenga la funzione $x(t)$ originaria...
Più semplicemente userei la definizione osservando che $u(t + 2) $ è nulla ovunque tranne che per $t > - 2 $ dove vale $1$ e quindi l'ultimo integrale che
"jordan20":
$ = \int_{0}^{1} e^{-(j+1)t}e^{-iwt}\text{d}t $
è certamente errato.
Allego il testo.
Dunque si, chiedo scusa, è stato un errore di battitura aver inserito 1 invece che infinito, come estremo superiore di integrazione. Sulla carta l'ho risolto con infinito.
Per cui, applicando la definizione, con le considerazioni appena fatte, dovrei avere:
\(\displaystyle \mathfrak{F}\left \{ x(t) \right \}=\int_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-2}^{\infty }e^{-(1+i)t}e^{-i\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-2 }^{\infty }e^{-t(1+i+\omega )}\mathrm{d}t=-\frac{1}{1+i+\omega }\left [ e^{-t(1+i+\omega )} \right ]_{-2}^{\infty}=\frac{e^{2(1+i+\omega )}}{1+i+\omega } \)
Corretto?
"pilloeffe":
Più semplicemente userei la definizione osservando che u(t+2) è nulla ovunque tranne che per t>−2 dove vale 1 e quindi l'ultimo integrale che
jordan20 ha scritto:
=∫10e−(j+1)te−iwtdt
è certamente errato.
Dunque si, chiedo scusa, è stato un errore di battitura aver inserito 1 invece che infinito, come estremo superiore di integrazione. Sulla carta l'ho risolto con infinito.
Per cui, applicando la definizione, con le considerazioni appena fatte, dovrei avere:
\(\displaystyle \mathfrak{F}\left \{ x(t) \right \}=\int_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-2}^{\infty }e^{-(1+i)t}e^{-i\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-2 }^{\infty }e^{-t(1+i+\omega )}\mathrm{d}t=-\frac{1}{1+i+\omega }\left [ e^{-t(1+i+\omega )} \right ]_{-2}^{\infty}=\frac{e^{2(1+i+\omega )}}{1+i+\omega } \)
Corretto?
"jordan20":
Corretto?
Non direi, ti sei perso una $i$ che moltiplica $\omega $, infatti
"jordan20":
$ ... =\int_{-2}^{\infty }e^{-(1+i)t}e^{-i\omega t}\text{d}t = \int_{-2 }^{\infty }e^{-t(1+i+\omega )}\text{d}t=... $
quindi il secondo integrale è errato, quello corretto è il seguente:
$ \int_{-2 }^{+\infty}e^{-t[1+i(1+\omega)]}\text{d}t = -\frac{1}{1+i(1+\omega)}[e^{-t[1+i(1+\omega)]}]_{-2}^{+\infty}=\frac{e^{2[1+i(\omega + 1)]}}{1+i(\omega + 1)}$
La fretta e la distrazione mie...
Perfetto, grazie tante per il supporto!
Perfetto, grazie tante per il supporto!
"jordan20":
Perfetto, grazie tante per il supporto!
Prego!
Comunque anche la trasformata (2) non mi torna, perché se non ho fatto male i conti si ha:
$ \mathcal{F}[x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{it} p_2(3t + 1) e^{- i \omega t} \text{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i (\tau - 1)/3} p_2(\tau) e^{- i \omega (\tau - 1)/3} 1/3 \text{d}\tau = 1/3 \int_{-1}^{1} e^{- i(\omega - 1) (\tau - 1)/3} \text{d}\tau = $
$ = (e^(2/3 i(\omega - 1)) - 1)/(i(\omega - 1)) = (e^{1/3 i(\omega - 1)} [e^{1/3 i(\omega - 1)} - e^{- 1/3 i(\omega - 1)}])/(i(\omega - 1)) = (2e^{1/3 i(\omega - 1)} [e^{1/3 i(\omega - 1)} - e^{- 1/3 i(\omega - 1)}])/(2i(\omega - 1)) = $
$ = (2e^{i(\omega - 1)/3} sin((\omega - 1)/3))/(\omega - 1) $
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