Esercizio su teorema di Rouche
Mostrare che tre delle quattro radici del polinomio $z^4-7z-1$ hanno modulo più grande di uno.
Per il teorema fondamentale dell'algebra sappiamo che il polinomio ha $4$ radici. Sia $D={z in CC| abs(z)<1}$, consideriamo le funzioni $f(z)=-7z-1$ e $g(z)=z^4$ olomorfe, si ha che per ogni $z$ nel bordo di $D$ vale
$abs(f(z))>abs(g(z))$ e quindi sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rouche per cui il numero di zeri contanti con molteplicità di $f$ in $D$ è uguale al numero di zeri contati con molteplicità di $f+g$ in $D$, ma $f$ ha un solo zero in $D$, quindi $z^4-7z-1$ ha un solo zero in $D$ per cui i rimanenti tre zero stanno fuori da $D$ e quindi hanno modulo maggiore di uno. Può andar bene?
Per il teorema fondamentale dell'algebra sappiamo che il polinomio ha $4$ radici. Sia $D={z in CC| abs(z)<1}$, consideriamo le funzioni $f(z)=-7z-1$ e $g(z)=z^4$ olomorfe, si ha che per ogni $z$ nel bordo di $D$ vale
$abs(f(z))>abs(g(z))$ e quindi sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rouche per cui il numero di zeri contanti con molteplicità di $f$ in $D$ è uguale al numero di zeri contati con molteplicità di $f+g$ in $D$, ma $f$ ha un solo zero in $D$, quindi $z^4-7z-1$ ha un solo zero in $D$ per cui i rimanenti tre zero stanno fuori da $D$ e quindi hanno modulo maggiore di uno. Può andar bene?
Risposte
Rouché, per favore.
Rouché Eugène, Mémoire sur la série de Lagrange, Journal de l'École Polytechnique, tome 22, 1862, pp. 193-224. Il teorema appare a pagina 217. Qualora fossi interessato, puoi consultare [url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k433694t.r=%22Eugene%20Rouch%C3%A9%22?rk=21459;2]Archivi Gallica[/url]
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