Funzione limitata in una serie
Salve a tutti!
Se in una serie ho un fattore moltiplicato per una funzione limitata è lecito considerare solo il fattore e verificare che la serie con solo esso converga?
Mi spiego, se devo verificare che $ sum_{n=1}^{\infty}\sin(\frac{1}{n^\alpha})(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $ converge, posso chiaramente considerare la convergenza assoluta $ sum_{n=1}^{\infty}|\sin(\frac{1}{n^\alpha})|(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $ e, poiché $ |\sin\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)| $ è limitata tra $[0,1]$ allora posso utilizzare il confronto con $ sum_{n=1}^{\infty}\root{n}{n} - \root{n+1}{n} $.
Ma se ho invece $ sum_{n=1}^{\infty}(1 - \cos(\frac{1}{n^\alpha}))(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $ posso fare la stessa cosa? Questa volta ho una funzione limitata in $[0,2]$, ma se considerassi $ sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 - \cos(\frac{1}{n^\alpha})}{2}(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $, senza alterare la convergenza/divergenza, avrei sempre una funzione limitata in $[0,1]$ e posso applicare lo stesso criterio, o no?
Grazie a tutti!
Se in una serie ho un fattore moltiplicato per una funzione limitata è lecito considerare solo il fattore e verificare che la serie con solo esso converga?
Mi spiego, se devo verificare che $ sum_{n=1}^{\infty}\sin(\frac{1}{n^\alpha})(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $ converge, posso chiaramente considerare la convergenza assoluta $ sum_{n=1}^{\infty}|\sin(\frac{1}{n^\alpha})|(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $ e, poiché $ |\sin\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)| $ è limitata tra $[0,1]$ allora posso utilizzare il confronto con $ sum_{n=1}^{\infty}\root{n}{n} - \root{n+1}{n} $.
Ma se ho invece $ sum_{n=1}^{\infty}(1 - \cos(\frac{1}{n^\alpha}))(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $ posso fare la stessa cosa? Questa volta ho una funzione limitata in $[0,2]$, ma se considerassi $ sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 - \cos(\frac{1}{n^\alpha})}{2}(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $, senza alterare la convergenza/divergenza, avrei sempre una funzione limitata in $[0,1]$ e posso applicare lo stesso criterio, o no?
Grazie a tutti!
Risposte
Ciao _Achille,
Benvenuto sul forum!
Sì, però non si capisce a che pro: ti dà fastidio scrivere un $2$ invece che un $1$?
$ \sum_{n=1}^{+\infty}(1 - \cos(\frac{1}{n^\alpha}))(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) <= 2 \sum_{n=1}^{+\infty} (\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $
Comunque la metti devi studiare la convergenza della serie $ \sum_{n=1}^{+\infty} (\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $
(che è convergente).
Benvenuto sul forum!
"_Achille":
senza alterare la convergenza/divergenza, avrei sempre una funzione limitata in $[0,1]$ e posso applicare lo stesso criterio, o no?
Sì, però non si capisce a che pro: ti dà fastidio scrivere un $2$ invece che un $1$?
$ \sum_{n=1}^{+\infty}(1 - \cos(\frac{1}{n^\alpha}))(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) <= 2 \sum_{n=1}^{+\infty} (\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $
Comunque la metti devi studiare la convergenza della serie $ \sum_{n=1}^{+\infty} (\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $
(che è convergente).
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