Analisi qualitativa problema di Cauchy

[astrid93]

Ciao a tutti!
Ho un problema con questo esercizio.

Consideriamo il problema di Cauchy

\[
\begin{cases}
\dot{x}(t)=t(1+\frac{1}{x(t)})\\
x(0)=x_0
\end{cases}
\]

con $x_0 \in \mathbb{R}-{0}$.
Devo dimostrare che la soluzione è definita su tutto $\mathbb{R}$. La mia idea è di usare il fatto che se l'intervallo massimale fosse finito, $I=(t_-,t_+)$, allora $\lim_{t\rightarrow t_+}|x(t)|=+\infty$. Ma in questo caso avremmo che $\lim_{t\rightarrow t_+}\dot{x}=+\infty$ e ciò non è possibile perché se prendo un qualche $t_0 \in I$ si ha $\lim_{t\rightarrow t_+}\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}=+\infty$.
Può andare bene?

Inoltre poi mi viene richiesto di mostrare che per lo stesso problema di Cauchy, ma con dato iniziale $x(t_0)=x_0$ esiste un $(t_0,x_0)$ per cui la soluzione ha intervallo massimale che non contiene $t=0$. E qui non so proprio come fare.

Grazie a chi potrà aiutarmi!

[dissonance]

No, la prima parte non va bene. Non hai usato da nessuna parte l'equazione. Se fosse come tu dici, nessuna equazione differenziale avrebbe soluzioni che esplodono in tempo finito. Ma l'inizio del tuo svolgimento e' giusto. Devi usare l'equazione.

[astrid93]

Potresti spiegarmi per favore quale sarebbe il procedimento? Non riesco proprio ad andare avanti purtroppo.

[gugo82]

Ti sei fatta un'idea della monotonia della soluzione massimale?
E della convessità?