Punti critici in n-variabili con prodotto scalare

[ale3111]

Salve a tutti.
Mi sono imbattuto in un esercizio curioso che mi sta destando non pochi problemi...

Classificare i punti critici della funzione \( (-1)^2 \) con la matrice definita positiva.

Mi sono messo a calcolare il gradiente, esplicitando il prodotto scalare, ma oltre che ad essere un calcolo poco simpatico ad occhio mi sembra che non mi porti molto lontano...

Probabilmente c'è un "trucco" che potrebbe salvare la vita, ma non riesco a vederlo e non trovo un modo per "generalizzare" il risultato in assenza di valori numerici usando le ipotesi che ho (c'è quel -1 che mi sembra tremendo!)

Un consiglio?
Grazie come sempre a tutti!

[Quinzio]

Sempre se ho capito bene... quella che ti propongo e' solo una traccia da confermare.
Non e' sufficiente determinare i punti per cui
\( (-1) = 0 \)
?

Ho semplicemente fatto la derivata e l'ho messa uguale a 0.
$$ \langle\textbf{M}\textbf{x},\textbf{x}\rangle-1 = 0 $$
Adesso la riscrivo cosi':
$$ \textbf{x}^T\textbf{M}\textbf{x}=1 $$
e la matrice e' diagonalizzabile secondo
$$ \textbf{P}^{-1}\textbf{M}\textbf{P} = \textbf{D} $$
quindi posso riscrivere il tutto nella nuova base:
$$ \tilde{\textbf{x}}^T\textbf{D}\tilde{\textbf{x}}=1 $$

Questo porta alla formula conclusiva:
$$ \sum_i \lambda_i x_i^2 = 1$$
che sembra un ellissoide in $n$ dimensioni i cui assi sono inversi agli autovalori della matrice $\bb{M}$.
Rimane quindi da tornare alla base originale.