Risoluzione serie
Salve, ragionando su un problema di natura probabilistica sono giunto alla seguente serie:
$sum_(i=0)^(oo)sum_(j=0)^(oo)(1/8)^i(5/18)^j((i+j)!)/(i!*j!)=72/43$
Per il risultato mi sono affidato a wolfram alpha.
La precedente serie corrisponde al caso $n=2$; nel caso in cui invece fosse $n=3$ dovremmo avere:
$sum_(i=0)^(oo)(p_1)^isum_(j=0)^(oo)(p_2)^jsum_(k=0)^(oo)(p_3)^k((i+j+k)!)/(i!*j!*k!)$ con $p in(0,1)$
Detto ciò avrei due domande:
- come si formalizza la suddetta formula per $n$ generico?
- come andrebbero inquadrate e risolte serie di questo tipo? E' possibile esprimere una soluzione in forma chiusa?
$sum_(i=0)^(oo)sum_(j=0)^(oo)(1/8)^i(5/18)^j((i+j)!)/(i!*j!)=72/43$
Per il risultato mi sono affidato a wolfram alpha.
La precedente serie corrisponde al caso $n=2$; nel caso in cui invece fosse $n=3$ dovremmo avere:
$sum_(i=0)^(oo)(p_1)^isum_(j=0)^(oo)(p_2)^jsum_(k=0)^(oo)(p_3)^k((i+j+k)!)/(i!*j!*k!)$ con $p in(0,1)$
Detto ciò avrei due domande:
- come si formalizza la suddetta formula per $n$ generico?
- come andrebbero inquadrate e risolte serie di questo tipo? E' possibile esprimere una soluzione in forma chiusa?
Risposte
Ciao utente__medio,
Basta porre $j := n - i $ e si ha:
$ \sum_{i = 0}^{+\infty} \sum_{j = 0}^{+\infty}(1/8)^i(5/18)^j((i+j)!)/(i!*j!) = \sum_{n = 0}^{+\infty} [ \sum_{i = 0}^{n} (n!)/(i!(n - i)!) (1/8)^i (5/18)^{n - i}] = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} (29/72)^n = 1/(1 - 29/72) = 72/43 $
Basta porre $j := n - i $ e si ha:
$ \sum_{i = 0}^{+\infty} \sum_{j = 0}^{+\infty}(1/8)^i(5/18)^j((i+j)!)/(i!*j!) = \sum_{n = 0}^{+\infty} [ \sum_{i = 0}^{n} (n!)/(i!(n - i)!) (1/8)^i (5/18)^{n - i}] = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} (29/72)^n = 1/(1 - 29/72) = 72/43 $
Beh, a me sembra che la prima serie sia esattamente \(f(1/8, 5/18)\), dove \(f(x,y)=\frac{1}{1-(x+y)}\), quindi direi che questo si generalizza a
\[
\frac{1}{1-\sum_{i=1}^n x_i} = \dots
\]
\[
\frac{1}{1-\sum_{i=1}^n x_i} = \dots
\]
Ah, ninjato
"megas_archon":
Ah, ninjato
Tranquillo, no problem...
@utente__medio
Mi rendo conto di essere stato un po' criptico...
Nella soluzione che ti ho proposto è stato usato il binomio di Newton:
$(a + b)^n = \sum_{i = 0}^n (n!)/(i!(n - i)!) a^i b^{n - i} $
ove nel caso proposto ovviamente $a = 1/8 $ e $b = 5/18 $
Per il caso che hai scritto dopo si tratta della generalizzazione di questo, usualmente denominato teorema multinomiale: potresti dare un'occhiata ad esempio qui o meglio, casomai ti servisse anche la dimostrazione, qui.
Premetto che sono molto arrugginito su queste cose e che peraltro non le ho mai studiate in modo approfondito.
Ponendo $j:=n-i$ ovviamente
$a^ib^j((i+j)!)/(i!*j!)$ diventa $a^ib^(n-i)((i+n-i)!)/(i!*(n-i)!)=a^ib^(n-i)((n),(i))$
Da un formulario inoltre leggo che
$sum_(i=0)^(oo)a^i=1/(1-a)$ con $|a|<1$
$sum_(i=0)^(n)a^ib^(n-i)((n),(i))=(a+b)^n$
quindi
$sum_(n=0)^(oo)sum_(i=0)^(n)a^ib^(n-i)((n),(i))=sum_(n=0)^(oo)(a+b)^n=1/(1-(a+b))$
L'unica cosa che non ho capito è come si passa da
$sum_(i=0)^(oo)sum_(j=0)^(oo)$ a $ sum_(n=0)^(oo)sum_(i=0)^(n)$
cioè nella mia testa l'equivalenza è evidente, ma meccanicamente come si ottiene il cambio di indice?
Ottimo, quindi come detto anche da @megas_archon, nel caso generale si ottiene (mi perdonerete se ometto la parte a sinistra dell'uguale
):
$...=1/(1-sum_(i=1)^(n)p_i$
P.S.
Ovviamente mi sono assicurato che la condizione $sum_(i=1)^(n)p_i in (0,1)$ risulta sempre soddisfatta nel problema che sto modellando.
"pilloeffe":
Ciao utente__medio,
Basta porre $ j := n - i $ e si ha:
$ \sum_{i = 0}^{+\infty} \sum_{i = 0}^{+\infty}(1/8)^i(5/18)^j((i+j)!)/(i!*j!) = \sum_{n = 0}^{+\infty} [ \sum_{i = 0}^{n} (n!)/(i!(n - i)!) (1/8)^i (5/18)^{n - i}] = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} (29/72)^n = 1/(1 - 29/72) = 72/43 $
Ponendo $j:=n-i$ ovviamente
$a^ib^j((i+j)!)/(i!*j!)$ diventa $a^ib^(n-i)((i+n-i)!)/(i!*(n-i)!)=a^ib^(n-i)((n),(i))$
Da un formulario inoltre leggo che
$sum_(i=0)^(oo)a^i=1/(1-a)$ con $|a|<1$
$sum_(i=0)^(n)a^ib^(n-i)((n),(i))=(a+b)^n$
quindi
$sum_(n=0)^(oo)sum_(i=0)^(n)a^ib^(n-i)((n),(i))=sum_(n=0)^(oo)(a+b)^n=1/(1-(a+b))$
L'unica cosa che non ho capito è come si passa da
$sum_(i=0)^(oo)sum_(j=0)^(oo)$ a $ sum_(n=0)^(oo)sum_(i=0)^(n)$
cioè nella mia testa l'equivalenza è evidente, ma meccanicamente come si ottiene il cambio di indice?
"pilloeffe":
Per il caso che hai scritto dopo si tratta della generalizzazione di questo, usualmente denominato teorema multinomiale: potresti dare un'occhiata ad esempio qui o meglio, casomai ti servisse anche la dimostrazione, qui.
Ottimo, quindi come detto anche da @megas_archon, nel caso generale si ottiene (mi perdonerete se ometto la parte a sinistra dell'uguale
):$...=1/(1-sum_(i=1)^(n)p_i$
P.S.
Ovviamente mi sono assicurato che la condizione $sum_(i=1)^(n)p_i in (0,1)$ risulta sempre soddisfatta nel problema che sto modellando.
"utente__medio":
$ sum_(n=0)^(oo)sum_(i=0)^(n)a^ib^(n-i)((n),(i))=sum_(n=0)^(oo)(a+b)^n=1/(1-(a+b)) $
Attenzione che questo naturalmente è vero se e solo se $|a + b| < 1 $, ma comunque nel tuo caso $a + b = 1/8 + 5/18 = 29/72 < 1 $
"utente__medio":
L'unica cosa che non ho capito è come si passa da
$\sum_(i=0)^(\infty)sum_(j=0)^(\infty) a \sum_(n=0)^(\infty) sum_(i=0)^(n) $
cioè nella mia testa l'equivalenza è evidente, ma meccanicamente come si ottiene il cambio di indice?
"pilloeffe":
Basta porre $ j:=n−i $
"pilloeffe":
Attenzione che questo naturalmente è vero se e solo se $ |a + b| < 1 $, ma comunque nel tuo caso $ a + b = 1/8 + 5/18 = 29/72 < 1 $
"utente__medio":
$ sum_(i=0)^(oo)a^i=1/(1-a) $ con $ |a|<1 $
...
quindi nel caso generale si ottiene:
$1/(1-sum_(i=1)^(n)p_i$
Ovviamente mi sono assicurato che la condizione $ sum_(i=1)^(n)p_i in (0,1) $ risulta sempre soddisfatta nel problema che sto modellando.
"pilloeffe":
[quote="utente__medio"]L'unica cosa che non ho capito è come si passa da
$ \sum_(i=0)^(\infty)sum_(j=0)^(\infty) a \sum_(n=0)^(\infty) sum_(i=0)^(n) $
cioè nella mia testa l'equivalenza è evidente, ma meccanicamente come si ottiene il cambio di indice?
"pilloeffe":[/quote]
Basta porre $ j:=n−i $
Se si è posto $ j:=n−i $, mi sembra ovvio che dipenderà da quello! Magari il mio modo di esprimermi non è molto rigoroso, ma come sopra anche qui ho l'impressione che i miei post vengano letti in modo un po' superficiale... ad ogni modo mentre il passaggio da
$ a^ib^j((i+j)!)/(i!*j!) $ a $ a^ib^(n-i)((i+n-i)!)/(i!*(n-i)!)$
è lapalissiano, meno chiaro mi è il cambio di estremi della sommatoria da
$ sum_(i=0)^(oo)sum_(j=0)^(oo) $ a $ sum_(n=0)^(oo)sum_(i=0)^(n) $
"utente__medio":
Se si è posto $ j:=n−i $, mi sembra ovvio che dipenderà da quello! [...] ad ogni modo mentre il passaggio da
$ a^ib^j((i+j)!)/(i!*j!) $ a $ a^ib^(n-i)((i+n-i)!)/(i!*(n-i)!)$
è lapalissiano, meno chiaro mi è il cambio di estremi della sommatoria da
$ sum_(i=0)^(oo)sum_(j=0)^(oo) $ a $ sum_(n=0)^(oo)sum_(i=0)^(n) $
Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
"utente__medio":
Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Siamo nell'ambito delle serie doppie e della loro convergenza... Per avere un'idea della situazione potresti dare un'occhiata ad esempio qui oppure, se preferisci qualcosa di un po' più "advanced", qui (5.5.1 a pagina 259 e seguenti).
Ok, grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo