Analisi matematica di base
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Un altro esercizio del quale avrei bisogno di una conferma circa la sua correttezza:
"Data la funzione lineare $ f(x,y,z)=x^2+3y^2+3z^2-2xz+4xy $, determinane l'insieme di definizione e quello di arrivo. Calcola la dimensione dei sottospazi $ Im[f] $ e $ Ker[f] $ ed una loro base".
La funzione è $ f:R^3->R^3 $ che sono, rispettivamente, insieme di definizione e di arrivo.
La matrice simmetrica associata alla forma quadratica è $ A=[ ( 1 , 2 , -1 ),( 2 , 3 , 0 ),( -1 , 0 , 3 ) ] $ .
Il determinante della matrice è diverso ...
Buonasera a tutti, spero mi possiate aiutare. Allora sono inciampata su questo esercizio e nonostante io mi stia scervellando con teoremi di calcolo fondamentale e continuità e derivabilità non riesco a venirne a capo.
L'esercizio recita così:
"Scegliere il parametro a in modo che la funzione $f(x)$ sia derivabile in $x_0 =0$ ."
$ f(x)={(ax, if x<=0),(int_(0)^(2x(e^x))log^7(t+e^2)dt, if x> 0):} $
Prima di tutto, secondo quello che ho capito devo prima verificare che la funzione sia continua nell'intorno di ...
Salve ragazzi vorrei sottoporvi il seguente dubbio:
In un problema PDE quasi lineare:
$ { ( u_t +q'(u)u_x=0; (x,t)inD ),( u(x,0)=g(x);x in[x_0,x_1] ):} $
Il teorema per l'esistenza della soluzione afferma che se: $ g in C^1(x_0,x_1) $ , $ q in C^2(g[x_0,x_1]) $ e si abbia $ q''[g(x)]g'(x)>=0 $ con $ D=[(x,t) :t>0, x_0+q'[g(x_0)]t<x<x_1+q'[g(x_1)]t $ allora esiste ed è unica la soluzione detta classica cioè: $ u $ è continua nella chiusura di D e $ C^1 $ nell'interno di D e può essere costruita con il metodo delle caratteristiche.
In questo caso ho il ...
Rieccomi qua sul forum (ahimè o per fortuna è da decidere ) con la speranza che qualcuno possa aiutarmi:
Calcola i punti di min/max vincolato della funzione $ f(x,y)=9x^2+y^2+5 $ sotto il vincolo $ xy+x+1/3y=1 $ . Applica la condizione dell'Hessiano Orlato.
Sia la funzione che il vincolo sono definiti in tutto $ R^2 $ , quindi entrambe le funzione sono di classe almeno $ C^2 $ .
Per la condizione di vincolo qualificato $ R=(gradg(bar(x)))=k $ vincoli si ha ...
Vorrei sapere se il procedimento per lo svolgimento del seguente esercizio è corretto
"Data la funzione $ f(x,y)=(4x^3y)/(x^4+y^2) $ determina l'insieme di definizione e tutti i suoi punti stazionari".
Il dominio è $ Df=((x,y)in R^2| x^4+y^2!= 0)=R^2-(0,0) $ .
Calcolo le derivate parziali prime:
$ fx(x,y)=(12x^2y(x^4+y^2)-16x^6y)/(x^4+y^2)^2=(12x^6y+12x^2y^3-16x^6y)/(x^4+y^2)^2=(12x^2y^3)/(x^4+y^2)^2=(4x^2y(3y^2-x^4))/(x^4+y^2)^2 $.
$ fy(x,y)=(4x^3(x^4+y^2)-4x^3y(2y))/(x^4+y^2)^2=(4x^7+4x^3y^2-8x^3y^2)/((x^4+y^2)^2)=(4x^7-4x^3y^2)/((x^4+y^2)^2)=(4x^3(x^4-y^2))/((x^4+y^2)^2 $
Imposto il sistema:
$ { ( (4x^2y(3y^2-x^4))/(x^4+y^2)^2=0 ),( (4x^3(x^4-y^2))/(x^4+y^2)^2=0 ):}->{ ( y(3y^2-x^4)=0 ),( x(x^4-y^2)=0 ):} $
da cui:
se $ y=0->x^5=0->x=0->(0,0) $
se $ 3y^2-x^4=0->y^2=(x^4)/3->x(x^4-(x^4)/3)=(2x^5)/3=0->x=0 ; y=0->(0,0) $
Poiché i punti critici trovati non appartengono al dominio, la funzione non ha punti ...
Salve a tutti, in una prova d'esame del mio professore vi è un esercizio in cui bisogna calcolare l'ordine di infinitesimo di tale funzione: $x(sinsqrtx) -sqrtx(sinx)$
Io l'ho svolto usando gli sviluppi di Taylor:
$Sinx=x-x^3/6+x^5/120 + o(x^7)$
$Sinsqrtx=sqrtx-xsqrtx/6+x^2sqrtx/120 + o(x^(7/2))$
Sostituendo si annullano solo i termini del primo ordine. Posso allora affermare che l'ordine di infinitesimo è 2? È corretto?
Grazie
Salve, propongo un esercizio sulla ricerca di massimi e minimi di una funziona a due variabili con un vincolo:
$ f(x,y)=sin (xy) $ nella circonferenza $ x^2+y^2=1 $ .
Divido lo studio all'interno della circonferenza e sulla frontiera.
Denotata con A la circonferenza, studio l'interno di A
Per prima cosa cerco i punti critici, ovvero $ grad f(x,y)=(0,0) rArr { ( ycos(xy)=0 ),( xcos(xy)=0 ):} $
da cui ottengo dalla prima $ y=0 $ , che sostituita nella seconda diventa $ x=0 $ , e
$ cos(xy) =0 $ sse ...
Devo calcolare
[tex]\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{\sin(x)}{x}-\cos(\frac{x}{\sqrt{3}})}{x\sin(x+x^{2})-x^{2}e^{x^{2}}}[/tex]
Wolfram Alpha dice che il risultato è 0, tuttavia io ottengo un altro risultato. Ecco la procedura da me seguita
Dato che
[tex]\lim_{x\rightarrow}\frac{\sin(x)}{x}=1[/tex]
e che per gli sviluppi di McLaurin
[tex]\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2n+1})[/tex] allora [tex]\cos(\frac{x}{\sqrt{3}})=1-\frac{x^{2}}{6}[/tex]
[tex]\sin(x)=x+o(x^{2n+2})[/tex] allora ...
Ciao!
Ho un problema con un esercizio in cui si chiede di determinare i massimi e i minimi di
\(\displaystyle
f(x,y,z)=ln x
\)
nell'insieme
\(\displaystyle
D=\{(x,y,z):(x-1)^2+y^2+z^2\leq 1, x \geq 1+\sqrt{y^2+z^2} \}
\)
io ho fatto così:
1) visto che nel vincolo \(\displaystyle f \) è continua allora il teorema di Weierstrass ammette max e min assoluti.
2) nella parte interna non ci sono massimi o minimi perche il gradiente di \(\displaystyle f \) non si annulla mai.
3) per quanto ...
Buonasera,
Avrei bisogno di aiuto per il seguente integrale: studiare la convergenza semplice ed assoluta di $int_0^oo 2t(t^5 + 1)^(-1/2) sin(t) dt$ . Nella soluzione viene considerata $f(t) = 2t(t^5 + 1)^(-1/2)$ che è positiva nell'intervallo di integrazione, infinitesima per $t->oo$ e derivata negativa per $t > 4^(1/5)$. A questo punto c'è scritto che questo basta per la convergenza semplice di $int_0^oo f(t) sin(t) dt$.
1) Perchè questo è sufficiente?? Come suggerimento c'è scritto di integrare per parti....
2)Per la ...
Salve a tutti mi sto esercitano di analisi per l'imminente esame e mi sono imbattuto in questi limiti:
-Il primo è
$ lim_(x->0) (sen(picosx))/(xsenx) $
riesco a scomporlo e a ricreare le condizioni per i limiti notevoli ma mi viene costantemente come risultato infinito mentre controllando le soluzioni il risultato è $ pi/2 $
-Il secondo è
$ lim_(x->infty) x^(log(1+1/x)) $
per quanto riguarda questo non saprei neanche iniziare,la mia unica idea è stata quella di scrivere la potenza come
$ e^[(logx)*(log(1+1/x)) $ in modo da ...
Salve, avevo un dubbio (sostanzialmente teorico) riguardo alla convoluzione nel senso delle funzioni.
per definizione si ha:
$x(t)\asty(t)=int_(-infty)^(+infty) x(T)y(t-T) dT$ .
A questo punto prendiamo un esempio:
$u(t-2)\astu(t-3)$ , con u(t) che è il gradino di Heaviside
operativamente, io procedo in questa maniera:
$u(t-2)=D^(1)((t-2)u(t-2))$
Da cui:
$u(t-2)\astu(t-3)=(D^(1)((t-2)u(t-2)))\astu(t-3)=(t-2)u(t-2)\astD^(1)(u(t-3))=(t-2)u(t-2) \astdelta(t-3)=(t-5)u(t-5)$.
Se volessi procedere tuttavia usando la definizione, avrei serie difficoltà. Mi spiego. se eseguo:
$int_(-infty)^(+infty) u(T-2)u(t-3-T) dT $ (ragiono bene? Basta sostituire ...
nello svolgere questo esercizio non so se la maggiorazione che ho fatto ha senso. qualora fossa sbagliata come posso risolvere l'esercizio?
il testo è il seguente:
"Per ogni intero positivo n si consideri la funzione $ f_n (x)=((x^5+1)^(1/n))/(nx^2+x^(1/3)) $ .
1. $f_n$ per quali $n$ è sommabile in $(0,+oo)$?
2. calcolare $ lim_(n->+oo)int_(0)^(+oo)f_n (x)dx $ "
per il punto 1 studiato la convergenza dell'integrale del modulo della funzione negli intorni di $x=0 ^^ +oo$. nel primo converge sempre, ...
Buonasera, qualcuno può dirmi gentilmente, spiegandomi anche come si risolvono queste due equazioni complesse?
z^6 - iz^4 + z^2 - 1 = 0
e
z^5 + (1+i)z = 0
Grazie mille
Ciao ragazzi
Volevo chiedervi se riuscivate a darmi un amano su come si risolve questo limite
Grazie
Salve, ho un dubbio che non riesco a risolvere: perché se \(\displaystyle \sum 1/k^2 \) è convergente (e lo giustifco col fatto che all'aumentare di k il numeratore diventa sempre più piccolo) invece \(\displaystyle \sum 1/k \) è divergente?
Non dovrebbero avere lo stesso comportamento?
Ciao ho un dubbio su come stabilire l'orientazione del verso della normale a una superficie.
Per esempio:
Calcola il flusso del campo vettoriale ... attraverso la superficie cartesiana $ Z=\sqrt(x^2 + y^2) $ per $ 1<x^2 + y^2 <4 $ con la normale orientata verso l'alto.
So risolvere l'esercizio, ma sono in dubbio sul segno del risultato legato a quel "orientata verso l'alto".
Per trovare la normale io parametrizzo la superficie del cono (tagliato in Z=1 e Z=2) come $ (x,y,√(x^2 + y^2) ) $ , faccio le ...
Salve mi si richiede di risolvere tale integrale con il metodo di integrazione per serie. Qualcuno sa aiutarmi?
$ int_(0)^(1) (arcsen(x))/x dx $
Ringrazio chiunque dedicherà qualche minuto a questo mio problema.
Saluti
Salve a tutti ragazzi, c'è un esercizio che dev'essere banalissimo ma che non riesco a risolvere. Il testo recita:
Sia $C$ una circonferenza passante per l'origine e sia $r$ una retta, passante per l'origine e per il centro di $C$. Si denoti con $alpha$ l'altra intersezione di $r$ con $C$, e con $gamma$ il generico punto di $C$.
Usando il fatto che che l'angolo $0gamma alpha$ è retto, ...
Salve,
devo studiare la soluzione massimale di un problema di cauchy, ovvero determinarne massimi e minimi(se ne ha), se è limitata, se è montona.
il problema è il seguente:
y'=(x+4)/(cos(y))
y(0)=pigreco
Io ho posto a(x)=x+4, continua in R
b(y)=1/cos(y), continua e derivabile per cos(y)=/=0 ovvero per y=/=k(pigreco/2)
Ora però non so piu come proseguire, qualcuno puo darmi una mano?
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