Calcolare ordine di infintesimo

[maravitagliano9-votailprof]

Salve a tutti, in una prova d'esame del mio professore vi è un esercizio in cui bisogna calcolare l'ordine di infinitesimo di tale funzione: $x(sinsqrtx) -sqrtx(sinx)$
Io l'ho svolto usando gli sviluppi di Taylor:
$Sinx=x-x^3/6+x^5/120 + o(x^7)$
$Sinsqrtx=sqrtx-xsqrtx/6+x^2sqrtx/120 + o(x^(7/2))$
Sostituendo si annullano solo i termini del primo ordine. Posso allora affermare che l'ordine di infinitesimo è 2? È corretto?
Grazie

[Antimius]

Osserva che $x \sin \sqrt{x} - \sqrt{x} \sin x = - x^2 \sqrt{x}/6 + o(x^3)$, perciò l'ordine non è $2$ ma $2 + 1/2 = 3/2$

[maravitagliano9-votailprof]

Non devo considero l'ordine dopo il quale lo sviluppo non si annulla più?

[Antimius]

No, l'ordine dell'infinitesimo è la potenza dell'infinitesimo campione. Cioè se $f(x) \to 0$ allora confrontiamo la funzione con le potenze $x^p$. Se per un certo $\bar{p}$ abbiamo che $\frac{f(x)}{x^{\bar{p}}} \to l \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, allora l'ordine di infiniesimo è $\bar{p}$. Ma questo non dev'essere necessariamente un numero intero.

Nel tuo caso, non c'è $x^2$ ma c'è un $x^2 \sqrt{x} = x^{3/2}$ come potenzia più bassa, quindi il limite verrà finito e non nullo se confrontato con $x^{3/2}$ (se provi a confrontarlo con $x^2$ invece ti verrà $0$ e questo vuol dire che la funzione è $o(x^2)$ cioè un infinitesimo di ordine superiore al secondo.

[maravitagliano9-votailprof]

Adesso è chiaro. Grazie mille.

[Antimius]

E di che