Ricerca Max e Min f(x,y)=sen(xy) nella circonferenza unitaria

[purgatoumberto]

Salve, propongo un esercizio sulla ricerca di massimi e minimi di una funziona a due variabili con un vincolo:
$ f(x,y)=sin (xy) $ nella circonferenza $ x^2+y^2=1 $ .
Divido lo studio all'interno della circonferenza e sulla frontiera.
Denotata con A la circonferenza, studio l'interno di A
Per prima cosa cerco i punti critici, ovvero $ grad f(x,y)=(0,0) rArr { ( ycos(xy)=0 ),( xcos(xy)=0 ):} $
da cui ottengo dalla prima $ y=0 $ , che sostituita nella seconda diventa $ x=0 $ , e
$ cos(xy) =0 $ sse $ xy=pi /2 + kpi $ che esplicitando rispetto le y : $ y= (pi /2+kpi )1/x $.
Infine sostituendo nella seconda , con opportuni calcoli ottengo i seguenti punti:
$ A=(0,0);
B(0, (pi /2+kpi)(1/k));
B=((pi /2+kpi)(1/k),0). $
Devo ora studiare questi punti in H(x,y) , quindi mi costruisco la matrice (Teorema Hessiano):
$ | ( -y^2sin(xy) , cos(xy)-xysin(xy)),( cos(xy)-xysin(xy) , -x^2sin(xy) ) | $

H(0,0)<0 quindi sella ( sempre se ho fatto bene i conti)
e questo vale anche per gli altri 2 punti.

Adesso passo allo studio su $ partialA $ :
Scrivo la circonferenza in coordinate polari (ovviamente)
$ { ( x=cosvartheta ),( y=sinvartheta ):} vartheta in [0,2pi ] $
Compongo la funzione ed essa diventa $ sin (cosvartheta sinvartheta ) $
Ne studio la derivata $ cos(cosvartheta sinvartheta)(cos^2vartheta-sin^2vartheta)>0 $
a questo punto mi chiedevo , prima di imbattermi in questo studio, se il procedimento fosse corretto.
Grazie in anticipo.