Derivabilità funzione integrale con parametro

[Stanzi96]

Buonasera a tutti, spero mi possiate aiutare. Allora sono inciampata su questo esercizio e nonostante io mi stia scervellando con teoremi di calcolo fondamentale e continuità e derivabilità non riesco a venirne a capo.
L'esercizio recita così:
"Scegliere il parametro a in modo che la funzione $f(x)$ sia derivabile in $x_0 =0$ ."

$ f(x)={(ax, if x<=0),(int_(0)^(2x(e^x))log^7(t+e^2)dt, if x> 0):} $

Prima di tutto, secondo quello che ho capito devo prima verificare che la funzione sia continua nell'intorno di $x_0 =0$ , per fare ciò bisognerebbe che il limite destro e sinistro delle due funzioni coincidessero. E già qui comincio a non capire che cosa fare della funzione integrale. Poi una volta stabilito che è continua dovrei capire se è derivabile, perchè la continuità è condizione necessaria ma non sufficiente. Per fare ciò devo studiare il limite destro e sinistro del rapporto incrementale (potrei usare la derivata, ma c'è il discorso che non sempre potrebbero tornare cose giuste e quindi lascio stare, forse sbagliando), e vedere per quale valore di $a$ questi due limiti coincidono.
Mi rendo conto di aver confusione e per questo vi chiedo aiuto. Soprattutto per l'integrale che non so che farci.
Grazie in anticipo a chiunque mi aiuterà a ragionare.
ps se poi una volta risolto mi proponeste altri esercizi simili per esercitarmi ne sarei felice.

[Stanzi96]

Grazie mille dei suggerimenti, devo dire che forse ci sono...forse.
Allora ho provato a svolgere l'esercizio, e la prima parte, che dimostra la continuità della funzione, se l'ho svolta bene devo dire è piuttosto semplice, bastava capire bene il teorema sulla continuità. Però è giusto che il parametro mi scompaia?

$ lim_(x -> 0^-) f(x)=lim_(x→0^-) αx=0 $

é corretto?

$ lim_(x -> 0^+) f(x)=lim_(x→0^+) int_(0)^(2xe^x) log^7(t+e^2)dt=0 $

questo è ovvio per il fatto che l'integrale di da a ad a=0.
infine:
$ f(0)= 0 $
Quindi essendo dimostrata l'uguaglianza posso dire che la $f(x)$ è continua $ AA alpha in R $ , giusto?

Per quanto riguarda la derivabilità:
$ lim_(x -> 0^+) d/dx alpha x= lim_(x -> 0^+) alpha = alpha $ (qui non so bene come comportarmi)
$ lim_(x -> 0^-) d/dx int_(0)^(2x(e^x)) log^7(t+e^2)dt = lim_(x -> 0^-) 2e^x(1+x)log^7(x+e^2)=256 $

a questo punto dato che i due limiti devono essere uguali affinchè la funzione sia derivabile in $x_0=0$ dico che la $f(x)$ è derivabile per $ alpha = 256 $ ? ho paura di aver tirato degli sfondoni disumani, nel caso mi dispiace e mi scuso.

[Stanzi96]

Ti ringrazio!
Sono felice mi torni. Penso sia importante acquisire sicurezza in matematica. Io speciamente se non sicura vado nel panico, e voi date una mano enorme ad acquisire sicurezza, complimenti!
Un'ultima domanda: il fatto di utilizzare il limite della derivata per verificare la derivabilità è sempre possibile? perchè è molto più semplice rispetto al rapporto incrementale, ad esempio a farlo con l'integrale non mi ci troverei bene.
Grazie ancora

[Stanzi96]

Si tutto molto più chiaro! Concludo chiedendo se ho fatto bene un altro esercizio, simile al primo.
Mi si chiede sempre per quali vaori di a e b la $f(x)$ è continua e derivabile in $x_0=0$ :

$ f(x)={ ( x+1 if x<=0),( beta +int_(0)^(alphax) sin^6((t+pi)/2) if x>0 ):} $

Ho studiato prima la continuità:

$ lim_(x -> 0^+) x+1=1 $

$ lim_(x -> 0^+) beta +int_(0)^(alphax) sin^6((t+pi)/2)dt=beta $

$ f(0)={ ( 1 if x >= 0 ),( beta if x< 0 ):} $

A questo punto posso dire che la $f(x)$ è una funzione continua in $x_0=0$ per $beta=1$, giusto ?

Stabilito questo passo a studiare la derivabilità:

$ lim_(x -> 0^+) d/dx x+1=1 $

$ lim_(x -> 0^+) d/dx(1 +int_(0)^(alphax) sin^6((t+pi)/2)dt)= lim_(x -> 0^+) alphasin^6((x+pi)/2)= alpha $

Dovendo essere i limiti uguali la $f(x)$ è derivabile in$x_0=0$ per $alpha=1$ e $beta=1$.
ok?

[Stanzi96]

Ho corretto il messaggio, mi sa che ho fatto degli "inserisci formula" a casaccio.
Comunque sì, ho riguardato la formula l'avevo proprio captata male, anche se il risultato è corretto alla fine.
Grazie ancora gentilissimo