Stabilire se esiste una funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$

bounty14
buonasera, ho un esercizio di analisi I con i quali ho dei seri problemi x la sua risoluzione qualcuno può aiutarmi :D

Stabilire se esiste una funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0

vorrei riuscire a capire passo passo come procedere potreste aiutarmi
grazie :D

Risposte
Antimius
Ti consiglio di studiare l'esistenza della funzione integrale ;)

bounty14
c'è qualche esercizio svolto che potreste consigliarmi tipo questo?

Antimius
Mmh, non saprei sinceramente.
Comunque si tratta di capire se è definita $F(x) = \int_0^x \frac{ \sin \sqrt{t}}{t} dt+ c$ e poi, eventualmente, determinare $c$ in modo che la seconda condizione sia soddisfatta. Provaci!

HINT: l'unico problema è lo $0$, perché quella funzione è sempre integrabile negli intervalli del tipo $(\epsilon, x)$.

bounty14
perchè wolfram come soluzione dell'integrale tra o e x mi da $2Si(sqrtx)$ ma cos'è Si? in Wolfram Alpha?

Antimius
Ma non c'è bisogno di trovare la primitiva esplicitamente. Devi solo dire se esiste! Infatti, in questo caso, credo che la primitiva non possa essere scritta in termini elementari e questo è il motivo per cui Wolfram usa $Si(x)$ che è soltanto una notazione per indicare $\int_0^x \frac{ \sin t}{t} dt $

bounty14
quindi come devo fare per dimostrare l'esistenza dell'integrale? uso il criterio del confronto?

Antimius
;)

bounty14
ho provato ad utilizzare il teorema del confronto, ma non riesco a venirne a capo, non è che qualcuno potrebbe scrivermi come dimostrare l'esistenza di questo integrale :(

Antimius
Basta osservare che $\frac{\sin \sqrt{t}}{t}$ è asintoticamente equivalente a $\frac{1}{\sqrt{t}}$ per $t \to 0^+$ e applicare il criterio del confronto asintotico ;)

Rigel1
Basta porre
\[
c := \int_1^2 \frac{\sin\sqrt{t}}{t}\, dt
\]
e definire
\[
f(x) := c + \int_1^x \frac{\sin\sqrt{t}}{t}\, dt.
\]

Antimius
In effetti non serviva che l'altro estremo fosse 0, non ci avevo pensato :lol:
Però in ogni caso va verificata la convergenza in $0$, perché la funzione dev'essere definita anche lì.

bounty14
buuon pomeriggio a tutti e ancora grazie x gli aiuti, ragazzi io continuo ancora ad avere le idee confuse su come dimostrare con rigore la convergenza in 0, ora vi scrivo come ho provato a farla

$f(2)=2f(1)$
$f'(x)=(sen sqrt(x))/x$

$\int_{x0}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c$ ve ne sono infinite ne scelgo una
$f(2)= 2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c]$ dove gli estremi di integrazione sono f(1)=1 e f(2)=2

trovo c $c=-2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt]$

pertanto $f(x)= \int_{1}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt -2 \int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt$

vorrei riuscire a risolvere l'esercizio con più rigore possibile, ma secondo me questo non basta per stabilire se la f(x) così trovata è una funzione continua e derivabile :cry:

Antimius
L'integrale di una funzione continua è continuo e derivabile. Ovviamente, affinché sia definita anche in $0$, devi dimostrare la convergenza di quell'integrale in $0$. Dopodiché, quanto ho appena detto è vero.

bounty14
per dimostrare che f sia definita anche in 0 va bene questa come dimostrazione?:

$f(t)= \int_{1}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c$

osservo che $(sen sqrt (t))/t$ è asintoticamente equivalente a $1/sqrt(t)$ per t che tende a 0+ (come mi avete suggerito)
infatti
il $lim_{t=0+} (sen sqrt (t))/t$=...... (uso Hopital)...= infinito

$lim_{t=0+}/sqrt(t) $ = infinito

$1/sqrt(t)$ ha integrale improprio convergente, infatti calcolando una primitiva $\int 1/sqrt(t)=$ ottengo $2sqrt(t)+c$
quindi l'integrale converge in 0+

Ragazzi se ci sono errori o imprecisioni vi prego di riscrivermi tutto il procedimento perchè non riesco a venirne a capo
grazie :)

Antimius
Non c'è bisogno di invocare De l'Hopital. Infatti, basta osservare che $\frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}} \to 1$ per $t \to 0$ per un limite notevole ;)
Per il resto è corretto, devi solo verificare che la funzione sia a termini positivi, ma in un intorno destro dello $0$ lo è.

[size=85]Per l'ultimo punto ricorda puoi anche semplicemente ricordare che $\int_0 ^c \frac{1}{|x|^p}$ converge per ogni $p < 1$[/size]

bounty14
per ultimo punto intendi la derivabilità di f(x)?

quindi per verificare che la funzione sia a termini positivi, in un intorno destro dello $ 0 $

invece di studiare $ f(t)= \int_{1}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c $

sostituisco l'integranda con ? $ \int_0 ^c \frac{1}{|x|^p} $ domanda: come giustifico tale scelta, come mai hai preso proprio questo integrale?

fatto ciò l'esercizio si può definire concluso?

Antimius
Nono, per verificare che è a termini positivi, basta notare che il seno lo è in un intorno destro dello $0$. Quello che ho scritto sotto era in riferimento all'integrale che hai calcolato dopo. Era per dire: non c'è bisogno di calcolarlo esplicitamente, in genere gli integrali del tipo $\int \frac{1}{|x|^p}$ ci si ricorda quando convergono (nel tuo caso è $p=1/2$), ma va bene anche come hai fatto tu ovviamente. Era solo un'aggiunta ;)

bounty14
Ricapitolando ragazzi questa risposta che vi scrivo così come la scrivo è una risposta al questo rigorosa e corretta?

quesito: Stabilire se esiste una funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0

Passo 1
si tratta di capire se è definita $ f(t)= \int_{0}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c $ per poi determinare c in modo che la seconda condizione sia soddisfatta
infatti
osservo che $ (sen sqrt (t))/t $ è asintoticamente equivalente a $ 1/sqrt(t) $ per t che tende a 0+ (come mi avete suggerito)
infatti
il $ lim_{t=0+} (sen sqrt (t))/t $=...... (uso Hopital)...= infinito

$ lim_{t=0+}/sqrt(t) $ = infinito

$ 1/sqrt(t) $ ha integrale improprio convergente, infatti calcolando una primitiva $ \int 1/sqrt(t)= $ ottengo $ 2sqrt(t)+c $
quindi l'integrale converge in 0+

Paso 2

$ f(2)=2f(1) $
$ f'(x)=(sen sqrt(x))/x $

$ \int_{x0}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c $ ve ne sono infinite ne scelgo una
$ f(2)= 2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c] $ dove gli estremi di integrazione sono f(1)=1 e f(2)=2

trovo c $ c=-2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt] $

pertanto la funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0
risulta essere
$ f(x)= \int_{1}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt -2 \int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt $

Questa soluzione è ineccepibilmente corretta? è dimostrata con sufficiente rigore o ci manca qualcosa?

Grazie mille;)

Rigel1
La funzione è sbagliata, poiché soddisfa \(f(1) = 2 f(2)\).
Quella giusta l'ho scritta alcuni post fa.
Per il resto, senza farla tanto lunga, basta osservare che \(\frac{\sin\sqrt{x}}{x} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}\) per \(x\to 0^+\), dunque per il criterio del confronto asintotico l'integrale improprio è convergente in \((0, 1)\), da cui segue che \(f\) è definita e continua anche in \(0\).

bounty14
ok grazie di tutto :D

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.