Stabilire se esiste una funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$
buonasera, ho un esercizio di analisi I con i quali ho dei seri problemi x la sua risoluzione qualcuno può aiutarmi 
Stabilire se esiste una funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0
vorrei riuscire a capire passo passo come procedere potreste aiutarmi
grazie
Stabilire se esiste una funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0
vorrei riuscire a capire passo passo come procedere potreste aiutarmi
grazie
Risposte
Ti consiglio di studiare l'esistenza della funzione integrale 
c'è qualche esercizio svolto che potreste consigliarmi tipo questo?
Mmh, non saprei sinceramente.
Comunque si tratta di capire se è definita $F(x) = \int_0^x \frac{ \sin \sqrt{t}}{t} dt+ c$ e poi, eventualmente, determinare $c$ in modo che la seconda condizione sia soddisfatta. Provaci!
HINT: l'unico problema è lo $0$, perché quella funzione è sempre integrabile negli intervalli del tipo $(\epsilon, x)$.
Comunque si tratta di capire se è definita $F(x) = \int_0^x \frac{ \sin \sqrt{t}}{t} dt+ c$ e poi, eventualmente, determinare $c$ in modo che la seconda condizione sia soddisfatta. Provaci!
HINT: l'unico problema è lo $0$, perché quella funzione è sempre integrabile negli intervalli del tipo $(\epsilon, x)$.
perchè wolfram come soluzione dell'integrale tra o e x mi da $2Si(sqrtx)$ ma cos'è Si? in Wolfram Alpha?
Ma non c'è bisogno di trovare la primitiva esplicitamente. Devi solo dire se esiste! Infatti, in questo caso, credo che la primitiva non possa essere scritta in termini elementari e questo è il motivo per cui Wolfram usa $Si(x)$ che è soltanto una notazione per indicare $\int_0^x \frac{ \sin t}{t} dt $
quindi come devo fare per dimostrare l'esistenza dell'integrale? uso il criterio del confronto?
Sì
ho provato ad utilizzare il teorema del confronto, ma non riesco a venirne a capo, non è che qualcuno potrebbe scrivermi come dimostrare l'esistenza di questo integrale 
Basta osservare che $\frac{\sin \sqrt{t}}{t}$ è asintoticamente equivalente a $\frac{1}{\sqrt{t}}$ per $t \to 0^+$ e applicare il criterio del confronto asintotico
Basta porre
\[
c := \int_1^2 \frac{\sin\sqrt{t}}{t}\, dt
\]
e definire
\[
f(x) := c + \int_1^x \frac{\sin\sqrt{t}}{t}\, dt.
\]
\[
c := \int_1^2 \frac{\sin\sqrt{t}}{t}\, dt
\]
e definire
\[
f(x) := c + \int_1^x \frac{\sin\sqrt{t}}{t}\, dt.
\]
In effetti non serviva che l'altro estremo fosse 0, non ci avevo pensato 
Però in ogni caso va verificata la convergenza in $0$, perché la funzione dev'essere definita anche lì.
Però in ogni caso va verificata la convergenza in $0$, perché la funzione dev'essere definita anche lì.
buuon pomeriggio a tutti e ancora grazie x gli aiuti, ragazzi io continuo ancora ad avere le idee confuse su come dimostrare con rigore la convergenza in 0, ora vi scrivo come ho provato a farla
$f(2)=2f(1)$
$f'(x)=(sen sqrt(x))/x$
$\int_{x0}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c$ ve ne sono infinite ne scelgo una
$f(2)= 2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c]$ dove gli estremi di integrazione sono f(1)=1 e f(2)=2
trovo c $c=-2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt]$
pertanto $f(x)= \int_{1}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt -2 \int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt$
vorrei riuscire a risolvere l'esercizio con più rigore possibile, ma secondo me questo non basta per stabilire se la f(x) così trovata è una funzione continua e derivabile
$f(2)=2f(1)$
$f'(x)=(sen sqrt(x))/x$
$\int_{x0}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c$ ve ne sono infinite ne scelgo una
$f(2)= 2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c]$ dove gli estremi di integrazione sono f(1)=1 e f(2)=2
trovo c $c=-2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt]$
pertanto $f(x)= \int_{1}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt -2 \int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt$
vorrei riuscire a risolvere l'esercizio con più rigore possibile, ma secondo me questo non basta per stabilire se la f(x) così trovata è una funzione continua e derivabile
L'integrale di una funzione continua è continuo e derivabile. Ovviamente, affinché sia definita anche in $0$, devi dimostrare la convergenza di quell'integrale in $0$. Dopodiché, quanto ho appena detto è vero.
per dimostrare che f sia definita anche in 0 va bene questa come dimostrazione?:
$f(t)= \int_{1}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c$
osservo che $(sen sqrt (t))/t$ è asintoticamente equivalente a $1/sqrt(t)$ per t che tende a 0+ (come mi avete suggerito)
infatti
il $lim_{t=0+} (sen sqrt (t))/t$=...... (uso Hopital)...= infinito
$lim_{t=0+}/sqrt(t) $ = infinito
$1/sqrt(t)$ ha integrale improprio convergente, infatti calcolando una primitiva $\int 1/sqrt(t)=$ ottengo $2sqrt(t)+c$
quindi l'integrale converge in 0+
Ragazzi se ci sono errori o imprecisioni vi prego di riscrivermi tutto il procedimento perchè non riesco a venirne a capo
grazie
$f(t)= \int_{1}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c$
osservo che $(sen sqrt (t))/t$ è asintoticamente equivalente a $1/sqrt(t)$ per t che tende a 0+ (come mi avete suggerito)
infatti
il $lim_{t=0+} (sen sqrt (t))/t$=...... (uso Hopital)...= infinito
$lim_{t=0+}/sqrt(t) $ = infinito
$1/sqrt(t)$ ha integrale improprio convergente, infatti calcolando una primitiva $\int 1/sqrt(t)=$ ottengo $2sqrt(t)+c$
quindi l'integrale converge in 0+
Ragazzi se ci sono errori o imprecisioni vi prego di riscrivermi tutto il procedimento perchè non riesco a venirne a capo
grazie
Non c'è bisogno di invocare De l'Hopital. Infatti, basta osservare che $\frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}} \to 1$ per $t \to 0$ per un limite notevole
Per il resto è corretto, devi solo verificare che la funzione sia a termini positivi, ma in un intorno destro dello $0$ lo è.
[size=85]Per l'ultimo punto ricorda puoi anche semplicemente ricordare che $\int_0 ^c \frac{1}{|x|^p}$ converge per ogni $p < 1$[/size]
Per il resto è corretto, devi solo verificare che la funzione sia a termini positivi, ma in un intorno destro dello $0$ lo è.
[size=85]Per l'ultimo punto ricorda puoi anche semplicemente ricordare che $\int_0 ^c \frac{1}{|x|^p}$ converge per ogni $p < 1$[/size]
per ultimo punto intendi la derivabilità di f(x)?
quindi per verificare che la funzione sia a termini positivi, in un intorno destro dello $ 0 $
invece di studiare $ f(t)= \int_{1}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c $
sostituisco l'integranda con ? $ \int_0 ^c \frac{1}{|x|^p} $ domanda: come giustifico tale scelta, come mai hai preso proprio questo integrale?
fatto ciò l'esercizio si può definire concluso?
quindi per verificare che la funzione sia a termini positivi, in un intorno destro dello $ 0 $
invece di studiare $ f(t)= \int_{1}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c $
sostituisco l'integranda con ? $ \int_0 ^c \frac{1}{|x|^p} $ domanda: come giustifico tale scelta, come mai hai preso proprio questo integrale?
fatto ciò l'esercizio si può definire concluso?
Nono, per verificare che è a termini positivi, basta notare che il seno lo è in un intorno destro dello $0$. Quello che ho scritto sotto era in riferimento all'integrale che hai calcolato dopo. Era per dire: non c'è bisogno di calcolarlo esplicitamente, in genere gli integrali del tipo $\int \frac{1}{|x|^p}$ ci si ricorda quando convergono (nel tuo caso è $p=1/2$), ma va bene anche come hai fatto tu ovviamente. Era solo un'aggiunta
Ricapitolando ragazzi questa risposta che vi scrivo così come la scrivo è una risposta al questo rigorosa e corretta?
quesito: Stabilire se esiste una funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0
Passo 1
si tratta di capire se è definita $ f(t)= \int_{0}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c $ per poi determinare c in modo che la seconda condizione sia soddisfatta
infatti
osservo che $ (sen sqrt (t))/t $ è asintoticamente equivalente a $ 1/sqrt(t) $ per t che tende a 0+ (come mi avete suggerito)
infatti
il $ lim_{t=0+} (sen sqrt (t))/t $=...... (uso Hopital)...= infinito
$ lim_{t=0+}/sqrt(t) $ = infinito
$ 1/sqrt(t) $ ha integrale improprio convergente, infatti calcolando una primitiva $ \int 1/sqrt(t)= $ ottengo $ 2sqrt(t)+c $
quindi l'integrale converge in 0+
Paso 2
$ f(2)=2f(1) $
$ f'(x)=(sen sqrt(x))/x $
$ \int_{x0}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c $ ve ne sono infinite ne scelgo una
$ f(2)= 2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c] $ dove gli estremi di integrazione sono f(1)=1 e f(2)=2
trovo c $ c=-2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt] $
pertanto la funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0
risulta essere
$ f(x)= \int_{1}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt -2 \int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt $
Questa soluzione è ineccepibilmente corretta? è dimostrata con sufficiente rigore o ci manca qualcosa?
Grazie mille;)
quesito: Stabilire se esiste una funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0
Passo 1
si tratta di capire se è definita $ f(t)= \int_{0}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c $ per poi determinare c in modo che la seconda condizione sia soddisfatta
infatti
osservo che $ (sen sqrt (t))/t $ è asintoticamente equivalente a $ 1/sqrt(t) $ per t che tende a 0+ (come mi avete suggerito)
infatti
il $ lim_{t=0+} (sen sqrt (t))/t $=...... (uso Hopital)...= infinito
$ lim_{t=0+}/sqrt(t) $ = infinito
$ 1/sqrt(t) $ ha integrale improprio convergente, infatti calcolando una primitiva $ \int 1/sqrt(t)= $ ottengo $ 2sqrt(t)+c $
quindi l'integrale converge in 0+
Paso 2
$ f(2)=2f(1) $
$ f'(x)=(sen sqrt(x))/x $
$ \int_{x0}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c $ ve ne sono infinite ne scelgo una
$ f(2)= 2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c] $ dove gli estremi di integrazione sono f(1)=1 e f(2)=2
trovo c $ c=-2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt] $
pertanto la funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0
risulta essere
$ f(x)= \int_{1}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt -2 \int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt $
Questa soluzione è ineccepibilmente corretta? è dimostrata con sufficiente rigore o ci manca qualcosa?
Grazie mille;)
La funzione è sbagliata, poiché soddisfa \(f(1) = 2 f(2)\).
Quella giusta l'ho scritta alcuni post fa.
Per il resto, senza farla tanto lunga, basta osservare che \(\frac{\sin\sqrt{x}}{x} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}\) per \(x\to 0^+\), dunque per il criterio del confronto asintotico l'integrale improprio è convergente in \((0, 1)\), da cui segue che \(f\) è definita e continua anche in \(0\).
Quella giusta l'ho scritta alcuni post fa.
Per il resto, senza farla tanto lunga, basta osservare che \(\frac{\sin\sqrt{x}}{x} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}\) per \(x\to 0^+\), dunque per il criterio del confronto asintotico l'integrale improprio è convergente in \((0, 1)\), da cui segue che \(f\) è definita e continua anche in \(0\).
ok grazie di tutto
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