Convergenza integrale improprio
Buonasera,
Avrei bisogno di aiuto per il seguente integrale: studiare la convergenza semplice ed assoluta di $int_0^oo 2t(t^5 + 1)^(-1/2) sin(t) dt$ . Nella soluzione viene considerata $f(t) = 2t(t^5 + 1)^(-1/2)$ che è positiva nell'intervallo di integrazione, infinitesima per $t->oo$ e derivata negativa per $t > 4^(1/5)$. A questo punto c'è scritto che questo basta per la convergenza semplice di $int_0^oo f(t) sin(t) dt$.
1) Perchè questo è sufficiente?? Come suggerimento c'è scritto di integrare per parti....
2)Per la convergenza assoluta è sufficiente dire che per confronto asintotico l'integrale diverge?
Grazie
Avrei bisogno di aiuto per il seguente integrale: studiare la convergenza semplice ed assoluta di $int_0^oo 2t(t^5 + 1)^(-1/2) sin(t) dt$ . Nella soluzione viene considerata $f(t) = 2t(t^5 + 1)^(-1/2)$ che è positiva nell'intervallo di integrazione, infinitesima per $t->oo$ e derivata negativa per $t > 4^(1/5)$. A questo punto c'è scritto che questo basta per la convergenza semplice di $int_0^oo f(t) sin(t) dt$.
1) Perchè questo è sufficiente?? Come suggerimento c'è scritto di integrare per parti....
2)Per la convergenza assoluta è sufficiente dire che per confronto asintotico l'integrale diverge?
Grazie
Risposte
Allora direi che si potrebbe studiare così
$ int_0^\infty \abs{\frac{2t}{sqrt(t^5+1)}sint\ }dt\= int_0^\infty \abs{\frac{2t}{sqrt(t^5+1)}}\abs{sint}\ dt\leq int_0^\infty \abs{\frac{2t}{sqrt(t^5+1)}}\ dt=int_0^\infty \frac{2t}{sqrt(t^5+1)}\ dt $
Ora poiché $ f\inC^0([0,+\infty)) $ e $ lim_(x -> +infty) f(x)=0 $ di ordine $ \frac{5}{2}-1=\frac{3}{2} $ allora l'ultimo integrale della catena che ti ho scritto sopra converge poiché l'integranda tende a 0 di ordine maggiore di 1 (sto usando i criteri di convergenza degli integrali impropri)
Quindi l'integrale iniziale della catena converge per il confronto e allora vale l'assoluta convergenza.
Siccome l'assoluta convergenza implica la convergenza semplice allora hai anche quella.
L'integrazione della funzione non mi sembra facile da fare. (per lo meno io non vedo modi per integrarla)
Non so che soluzione sia ma non mi sembra sufficiente quello che dice per poter affermare la semplice convergenza.
Se considero $ int_0^infty \frac{1}{x}dx $ tale integrale non converge. Eppure l'integranda è positiva, infinitesima all'infinito e decrescente nell'intervallo di integrazione (cioé derivata negativa in $(0,+\infty)$)
$ int_0^\infty \abs{\frac{2t}{sqrt(t^5+1)}sint\ }dt\= int_0^\infty \abs{\frac{2t}{sqrt(t^5+1)}}\abs{sint}\ dt\leq int_0^\infty \abs{\frac{2t}{sqrt(t^5+1)}}\ dt=int_0^\infty \frac{2t}{sqrt(t^5+1)}\ dt $
Ora poiché $ f\inC^0([0,+\infty)) $ e $ lim_(x -> +infty) f(x)=0 $ di ordine $ \frac{5}{2}-1=\frac{3}{2} $ allora l'ultimo integrale della catena che ti ho scritto sopra converge poiché l'integranda tende a 0 di ordine maggiore di 1 (sto usando i criteri di convergenza degli integrali impropri)
Quindi l'integrale iniziale della catena converge per il confronto e allora vale l'assoluta convergenza.
Siccome l'assoluta convergenza implica la convergenza semplice allora hai anche quella.
L'integrazione della funzione non mi sembra facile da fare. (per lo meno io non vedo modi per integrarla)
Non so che soluzione sia ma non mi sembra sufficiente quello che dice per poter affermare la semplice convergenza.
Se considero $ int_0^infty \frac{1}{x}dx $ tale integrale non converge. Eppure l'integranda è positiva, infinitesima all'infinito e decrescente nell'intervallo di integrazione (cioé derivata negativa in $(0,+\infty)$)
D'accordo grazie mille!
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