Punti critici

[dino!16]

Vorrei sapere se il procedimento per lo svolgimento del seguente esercizio è corretto
"Data la funzione $ f(x,y)=(4x^3y)/(x^4+y^2) $ determina l'insieme di definizione e tutti i suoi punti stazionari".

Il dominio è $ Df=((x,y)in R^2| x^4+y^2!= 0)=R^2-(0,0) $ .
Calcolo le derivate parziali prime:
$ fx(x,y)=(12x^2y(x^4+y^2)-16x^6y)/(x^4+y^2)^2=(12x^6y+12x^2y^3-16x^6y)/(x^4+y^2)^2=(12x^2y^3)/(x^4+y^2)^2=(4x^2y(3y^2-x^4))/(x^4+y^2)^2 $.
$ fy(x,y)=(4x^3(x^4+y^2)-4x^3y(2y))/(x^4+y^2)^2=(4x^7+4x^3y^2-8x^3y^2)/((x^4+y^2)^2)=(4x^7-4x^3y^2)/((x^4+y^2)^2)=(4x^3(x^4-y^2))/((x^4+y^2)^2 $
Imposto il sistema:
$ { ( (4x^2y(3y^2-x^4))/(x^4+y^2)^2=0 ),( (4x^3(x^4-y^2))/(x^4+y^2)^2=0 ):}->{ ( y(3y^2-x^4)=0 ),( x(x^4-y^2)=0 ):} $
da cui:
se $ y=0->x^5=0->x=0->(0,0) $
se $ 3y^2-x^4=0->y^2=(x^4)/3->x(x^4-(x^4)/3)=(2x^5)/3=0->x=0 ; y=0->(0,0) $
Poiché i punti critici trovati non appartengono al dominio, la funzione non ha punti stazionari.

Grazie in anticipo!!!

[cooper1]

a parte qualche termine che mi sembra manchi nei conti, il procedimento mi sembra corretto ed anche le conclusioni che ne hai tratto.