Passaggio al limite sotto il segno di integrale-maggiorazione
nello svolgere questo esercizio non so se la maggiorazione che ho fatto ha senso. qualora fossa sbagliata come posso risolvere l'esercizio?
il testo è il seguente:
"Per ogni intero positivo n si consideri la funzione $ f_n (x)=((x^5+1)^(1/n))/(nx^2+x^(1/3)) $ .
1. $f_n$ per quali $n$ è sommabile in $(0,+oo)$?
2. calcolare $ lim_(n->+oo)int_(0)^(+oo)f_n (x)dx $ "
per il punto 1 studiato la convergenza dell'integrale del modulo della funzione negli intorni di $x=0 ^^ +oo$. nel primo converge sempre, nel secondo solo se $n > 5$. quindi la funzione è sommabile nei positivi solo per $n > 5$
per il punto 2 ho cercato di capire se le ipotesi del teorema della convergenza dominata di Lebesgue fossero soddisfatte. a tal proposito ho trovato che il limite puntuale è $0$ poichè per n che va all'infinito la funzione è asintotica a $ 1/(nx^2) $ che tende appunto a $0$.
cerco adesso una maggiorazione uniforme in x. è in questo passaggio che non so se ho fatto giusto o meno. io affermo che:
$ |f_n (x)| <=(x^5+1)^(1/6)/(6x^2+x^(1/3)) :=g(x) $
poichè infine la $g(x)$ è sommabile in $(0,+oo)$ allora concludo che il limite da calcolare fa zero.
quello che ho fatto è corretto? grazie a chi mi darà una mano!
il testo è il seguente:
"Per ogni intero positivo n si consideri la funzione $ f_n (x)=((x^5+1)^(1/n))/(nx^2+x^(1/3)) $ .
1. $f_n$ per quali $n$ è sommabile in $(0,+oo)$?
2. calcolare $ lim_(n->+oo)int_(0)^(+oo)f_n (x)dx $ "
per il punto 1 studiato la convergenza dell'integrale del modulo della funzione negli intorni di $x=0 ^^ +oo$. nel primo converge sempre, nel secondo solo se $n > 5$. quindi la funzione è sommabile nei positivi solo per $n > 5$
per il punto 2 ho cercato di capire se le ipotesi del teorema della convergenza dominata di Lebesgue fossero soddisfatte. a tal proposito ho trovato che il limite puntuale è $0$ poichè per n che va all'infinito la funzione è asintotica a $ 1/(nx^2) $ che tende appunto a $0$.
cerco adesso una maggiorazione uniforme in x. è in questo passaggio che non so se ho fatto giusto o meno. io affermo che:
$ |f_n (x)| <=(x^5+1)^(1/6)/(6x^2+x^(1/3)) :=g(x) $
poichè infine la $g(x)$ è sommabile in $(0,+oo)$ allora concludo che il limite da calcolare fa zero.
quello che ho fatto è corretto? grazie a chi mi darà una mano!
Risposte
Va bene. Potevi anche usare la convergenza monotona.
grazie mille per la risposta. in effetti non ci penso quasi mai alla convergenza monotona, ma la terrò più in considerazione. 
grazie ancora
grazie ancora
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