Rappresentazione binaria di un numero reale

[Alin2]

Salve a tutti, ho una domanda: come si rappresenta la parte decimale, cioè la parte
compresa $[0,1]$ di un numero reale con una successione di intervalli dimezzati.
Per esempio se volessi rappresentare il numero $2,1234$ come faccio a scrivere la parte $0,1234$ con una successione di intervalli dimezzati. Grazie

[ghira1]

$0,1234$ è maggiore di $0,5$? No. È maggiore di $0,25$? No. È maggiore di $0,125$? No. E maggiore di $0,0625$? Sì! $0,1234-0,0625$ è maggiore di $0,03125$? Ecc. ecc.

[ingres]

in maniera sistematica si può utilizzare un metodo usato per la conversione da decimale in binario, e basato su moltiplicazioni successive considerando parte intera I e parte frazionaria P. Si parte dalla frazione e di volta in volta si moltiplica per 2 la P risultante dal passo precedente:

$0.1234 * 2 = 0.2468 -> P1 = 0.2468, I1 = 0$
$0.2468 * 2 = 0.4936 -> P2 = 0.4936, I2 = 0$
$0.4936 * 2 = 0.9872 -> P3 = 0.9872, I3 = 0$
$0.9872 * 2 = 1.9744 -> P4 = 0.9744, I4 = 1$
$0.9744 * 2 = 1.9488 -> P5 = 0.9488, I5 = 1$
$0.9488 * 2 = 1.8976 -> P6 = 0.8976, I6 = 1$
$.....$

Quindi si scrivono nell'ordine le varie parti intere ovvero

$(0.1234)_10 = (0.000111..)_2$

A questo punto per definizione:

$0.1234 = 0*1/2 + 0*1/4 + 0*1/8 + 1*1/16 + 1*1/32 + 1*1/64 + ....$

Qui un convertitore per decimali con la virgola.
https://www.fauser.edu/~fuligni/convbas ... verti.html

[Alin2]

Intanto grazie. Ma forse mi sono spiegato male: L'assioma di continuità suggerisce una possibile rappresentazione dei numeri reali
 La parte intera la rappresentiamo con $[x]$, mentre i numeri compresi tra $0$ e $1$ vengono individuati dagli intervalli dimezzati, a partire da $[0,1]$
Conveniamo che $0$ significa che si sceglie l'intervallo di sinistra e $1$ se si sceglie l'intervallo di destra Allora una successione di intervalli dimezzati è determinata da una sequenza di $0$ e $1$
La sequenza $1001...$ significa che si prendono successivamente gli intervalli
 $[1/2, 1]$,
 $[1/2,3/4]$
 $[1/2,5/8]$
 $[9/16, 5/8]$
eccetera
Allora mi chiedo:  qual è la sequenza di intervalli dimezzati che individua $0,1234$

[ghira1]

"Alin":
Allora mi chiedo:  qual è la sequenza di intervalli dimezzati che individua $0,1234$

E non abbiamo già risposto? In due?

[ingres]

Se vuoi vedere in termini di intervalli e venendo da sinistra, si desume dalle risposte sopra, il seguente sviluppo:

$[0,1/16] uu [1/16, 1/16+1/32] uu [1/16+1/32, 1/16+1/32+1/64] uu ... = [0 , 0.1234]$

Come vedi lo sviluppo aggiunge intervalli sempre più piccoli e sempre più vicini al numero decimale. Puoi anche fare lo stesso da destra (ottenendo [0.1234, 1]) facendo il complementare del numero binario, ma comunque devi garantire che la successione tenda al numero in questione e questo sarà impossibile unendo intervalli con l'estremo inferiore maggiore o uguale a 1/2.
Quindi è scorretta la rappresentazione a cui stai facendo riferimento.

[Alin2]

"ingres":in maniera sistematica si può utilizzare un metodo usato per la conversione da decimale in binario, e basato su moltiplicazioni successive considerando parte intera I e parte frazionaria P. Si parte dalla frazione e di volta in volta si moltiplica per 2 la P risultante dal passo precedente:

$0.1234 * 2 = 0.2468 -> P1 = 0.2468, I1 = 0$
$0.2468 * 2 = 0.4936 -> P2 = 0.4936, I2 = 0$
$0.4936 * 2 = 0.9872 -> P3 = 0.9872, I3 = 0$
$0.9872 * 2 = 1.9744 -> P4 = 0.9744, I4 = 1$
$0.9744 * 2 = 1.9488 -> P5 = 0.9488, I5 = 1$
$0.9488 * 2 = 1.8976 -> P6 = 0.8976, I6 = 1$
$.....$

Quindi si scrivono nell'ordine le varie parti intere ovvero

$(0.1234)_10 = (0.000111..)_2$

A questo punto per definizione:

$0.1234 = 0*1/2 + 0*1/4 + 0*1/8 + 1*1/16 + 1*1/32 + 1*1/64 + ....$

Scusami Ingres, ma ho un dubbio: continuando con $...+1/128+1/256+1/512$ ottengo $0,123046875$ e se vado avanti $...+1/128+1/256+1/512+1024+....+1/(2^n)$ che cos'è che mi sfugge?
Altra cosa:

"ingres":
Se vuoi vedere in termini di intervalli e venendo da sinistra, si desume dalle risposte sopra, il seguente sviluppo:

$[0,1/16]∪[1/16,1/16+1/32]∪[1/16+1/32,1/16+1/32+1/64]∪...=[0,0.1234]$

Com'è si fa la somma di questi intervalli?
Grazie di nuovo

[ingres]

"Alin":ma ho un dubbio: continuando con ..

Devi continuare ad usare l'algoritmo e non è detto che si vada con tutte le potenze inverse di 2 e nè che ad un certo punto ci si arresti.

Le prime cifre binarie sono $0.0001111110010 ..$ e quindi

$ 0.1234 = 0*1/2 + 0*1/4 + 0*1/8 + 1*1/16 + 1*1/32 + 1*1/64 + 1*1/128+1*1/256+1*1/512 + 0*1/1024 + 0*1/2048 + 1*1/4096 + 0* 1/8192 + ..$

"Alin":Com'è si fa la somma di questi intervalli?

Sono intervalli contigui. Ogni intervallo comincia dove finisce l'altro per cui basta prendere l'estremo inferiore del primo e quello superiore dell'ultimo. E in base a quanto sopra non è detto che si aggiungano sempre intervalli dimezzati rispetto al precedente, ma anche ridotti di potenze maggiori di 2.