Integrale doppio su dominio simmetrico rispetto agli assi

[neperoz]

Buongiorno, sto litigando con questo esercizio di analisi 2:

$ T$ è il poligono di vertici \(\displaystyle (3,1),(0,3),(-3,1),(-3,-1),(0,-3),(3,-1)\)
Calcolare (1) \(\displaystyle \int \int_T (2y^5+x^2+3x\,\text{sinh}\,y^3)dxdy \)
La risposta è 54 ma qualsiasi ragionamento io faccia, ritorno a trovare 27.

Ho disegnato il poligono ed ho trovato che:
- \(\displaystyle y^5 \) dispari rispetto a y
- \(\displaystyle 3x\,\text{sinh}\,y^3\) dispari rispetto a y
- $x^2$ pari rispetto a y
Per cui ho pensato di scrivere $T$ normale rispetto a $x$ (le due funzioni dispari rispetto a y hanno integrale nullo) e poi esprimere (1) come due volte l'integrale di $x^2$ calcolato per $-3 \le x \le 0 \cup 0 \le y \le x+3$ e due volte per $0 \le x \le 3 \cup 0 \le y \le -x+3$.
A questo punto posso ridurre ancora unendo i due integrali. Scrivo (1) come \(\displaystyle 4\int_0^3 \int_0^{-x+3} x^2 \text{d}y\text{d}x \)
\(\displaystyle 4\int_0^3x^2(-x+3) \text{d}x = 4\Big[-x^4/4+x^3\Big]_0^3 = 4(-81/4+27)=27\)

Probabilmente sbaglio qualcosa nell'analizzare il dominio di integrazione.

[Mephlip]

Immagino che quella ripetizione del punto $(-3,1)$ nel testo da te riportato sia invece un $(-3,-1)$.

In caso affermativo: sì, sbagli l'insieme di integrazione. I ragionamenti di simmetria e l'idea di vedere $T$ come insieme normale rispetto all'asse $x$ sono corrette, ma sbagli la retta; non è $-x+3$, ma è un'altra retta. Fai un disegno del poligono e poi disegna la retta $y=-x+3$, vedrai che non coincide con il lato del poligono che vuoi descrivere.

[neperoz]

"Mephlip":Immagino che quella ripetizione del punto $(-3,1)$ nel testo da te riportato sia invece un $(-3,-1)$.

Sì perdonami errore mio. Modifico il post originale.

"Mephlip": [...] non è $-x+3$, ma è un'altra retta. Fai un disegno del poligono e poi disegna la retta $y=-x+3$, vedrai che non coincide con il lato del poligono che vuoi descrivere.

Hai ragione, la retta era $-2/3x +3$. Colpa della mia natura frettolosa. Grazie mille!