Integrale con seno sotto radice

[claudio.spennati]

Buongiorno a tutti, avrei un dubbio con il seguente integrale.

$\int sqrt(1+sin(x)) dx$

Ho pensato di risolvere l'integrale in questo modo:

$\int sqrt((1+sin(x)) * (1-sin(x))/(1-sin(x)) dx$ =$ \int sqrt((1-sin^2(x))/(1-sin(x))) dx$ = $\int sqrt((cos^2(x))/(1-sin(x))) dx $ = $\int (\abs(cos(x)))/(sqrt(1-sin(x))) dx$

A questo punto, se non ci fosse il valore assoluto, l'integrale sarebbe abbastanza facile:

$\int (cos(x))/(sqrt(1-sin(x))) dx$, se pongo $ y= 1-sin(x) $ $iff$ $dy = -cos(x) dx$, ottengo:
$ \int (-dy)/(sqrt(y))$ = $-2sqrt(y) + c$ = $-2sqrt(1-sin(x)) + c$

Per questo motivo, mi chiedevo, sarebbe sufficiente, per scrivere la soluzione, studiare il segno di $cos(x)$, e quindi concludere che:

$\int sqrt(1+sin(x)) dx$ = $\{(-2sqrt(1-sin(x))+c if 0<=x<=pi/2+2kpi ^^ 3/2pi+2kpi<=x<2kpi), (+2sqrt(1-sin(x))+c if pi/2pi+2kpi
In alternativa, sarebbe corretto scrivere la soluzione come:

$\int sqrt(1+sin(x)) dx$ = $\sgn(cos(x))*(2sqrt(1-sin(x))+c)$
?

Grazie mille!

[Mephlip]

Qui:

"BuioPesto":$ y= 1-sin(x) $ $iff$ $dy = -cos(x) dx$

Non è $iff$, è $\implies$. Ad esempio, anche $\text{d}(42-\sinx)=-\cos x \text{d}x$.

Inoltre, qui:

"BuioPesto":
$\int sqrt(1+sin(x)) dx$ = $\{(-2sqrt(1-sin(x))+c if 0<=x<=pi/2+2kpi ^^ 3/2pi+2kpi<=x<2kpi), (+2sqrt(1-sin(x))+c if pi/2pi+2kpi
non è $\wedge$, è $\vee$; ad esempio, ponendo $k=1$ ti puoi rendere conto che non è quello che volevi dire (non esistono numeri reali simultaneamente in $\left[0,\pi/2\right]$ e $\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$).

Quei connettivi logici hanno un significato ben preciso: se vuoi usarli, assicurati di averli compresi appieno.

Anche le costanti di integrazione sono, in generale, diverse su ogni componente connessa (in questo caso, su ogni intervallo visto che siamo in $\mathbb{R}$).

Per quanto riguarda la domanda sull'integrale, devi innanzitutto assicurarti che la tua primitiva sia derivabile e, se lo dovesse essere, potresti compattare il risultato in maniera simile a come hai fatto. Tuttavia, dovrai fare attenzione nel contesto degli integrali definiti. Ad esempio, prova a calcolare:
$$\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\sin x}\text{d}x$$
Usando la primitiva da te trovata.

[claudio.spennati]

Ti ringrazio per le correzioni sui connettivi! Effettivamente, quello che avevo scritto non ha senso.

Per quanto riguarda la derivabilità della funzione primitiva, per verificarla dovrei andare a calcolare i limiti dei rapporti incrementali destro e sinistro in $pi/2$ e $(3pi)/2$?

[pilloeffe]

Ciao BuioPesto,

Il presente solo per farti notare che una volta pervenuto a

$ \int (cos(x))/(sqrt(1-sin(x))) \text{d}x = - \int - cos(x) (1 - sin(x))^{- 1/2} \text{d}x $

non c'è bisogno di alcuna sostituzione, essendo l'ultimo integrale scritto immediato in quanto del tipo

$\int [f(x)]^a f'(x) \text{d}x = [f(x)]^{a + 1}/(a + 1) + c $

con $f(x) = 1 - sin(x) $ e $a = - 1/2 $

[claudio.spennati]

"pilloeffe":Ciao BuioPesto,

Il presente solo per farti notare che una volta pervenuto a

$ \int (cos(x))/(sqrt(1-sin(x))) \text{d}x = - \int - cos(x) (1 - sin(x))^{- 1/2} \text{d}x $

non c'è bisogno di alcuna sostituzione, essendo l'ultimo integrale scritto immediato in quanto del tipo

$\int [f(x)]^a f'(x) \text{d}x = [f(x)]^{a + 1}/(a + 1) + c $

con $f(x) = 1 - sin(x) $ e $a = - 1/2 $

Ti ringrazio! In genere cerco di memorizzare meno formule possibile, e magari di arrivarci con qualche piccolo passaggio in più. Effettivamente, potevo evitare la sostituzione!

[pilloeffe]

"BuioPesto":Ti ringrazio!

Prego!

"BuioPesto":In genere cerco di memorizzare meno formule possibile

Questo lo capisco e lo condivido anche... Pensando che possa tornarti utile ti dico come me la ricordo io (cioè come in realtà non me la ricordo, ma la ricavo da quella della derivata... ):

$D[y^b] = by^{b - 1} y' $

Integrando:

$\int y^{b - 1} y' \text{d}x = y^b/b + c $

Ponendo per comodità $a := b - 1 $ si ha proprio

$\int y^a y' \text{d}x = y^{a + 1}/(a + 1) + c $

[Mephlip]

@pilloeffe: Bentornato!

@BuioPesto: tecnicamente dovresti controllare ogni punto tale che in ogni suo intorno la funzione $F_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita ponendo:
$$F_k(x)=\begin{cases} -2\sqrt{1-\sin x}+c_1, \ \text{se} \ \left(2k\pi \le x \le \frac{\pi}{2}+2k\pi \right) \vee \left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi \le x < 2\pi+2k\pi\right) \\ 2\sqrt{1-\sin x}+c_2, \ \text{se} \ \frac{\pi}{2}+2k\pi cambia definizione, ossia gli infiniti punti di frontiera degli intervalli da te riportati. Tuttavia, puoi semplificare notevolmente le cose usando la periodicità e gli archi associati. Ma qui non conviene farlo, perché la tua non è una primitiva su $\mathbb{R}$ essendo discontinua in infiniti punti (esercizio: quali?) e quindi, essendo una funzione di una variabile, non è neanche derivabile negli stessi punti. Invece, è derivabile in opportuni intervalli propri di $\mathbb{R}$. Perciò, dipende dove devi poi integrare. Per questo è un po' pericoloso studiare gli integrali indefiniti come esercizio per determinare l'insieme di tutte le primitive di una data funzione: spesso, non si verificano tutte le proprietà che le primitive devono avere ma soltanto la parte "calcolosa": ossia, che una presunta primitiva $G$ di una funzione $g$ soddisfi $G'(x)=g(x)$ per ogni $x\in\text{dom}(g)$.

[claudio.spennati]

"pilloeffe":
Questo lo capisco e lo condivido anche... Pensando che possa tornarti utile ti dico come me la ricordo io (cioè come in realtà non me la ricordo, ma la ricavo da quella della derivata... ):

$D[y^b] = by^{b - 1} y' $

Integrando:

$\int y^{b - 1} y' \text{d}x = y^b/b + c $

Ponendo per comodità $a := b - 1 $ si ha proprio

$\int y^a y' \text{d}x = y^{a + 1}/(a + 1) + c $

Così ha molto senso, grazie mille!

"Mephlip": tecnicamente dovresti controllare ogni punto tale che in ogni suo intorno la funzione $F_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita ponendo:
$$F_k(x)=\begin{cases} -2\sqrt{1-\sin x}+c_1, \ \text{se} \ \left(2k\pi \le x \le \frac{\pi}{2}+2k\pi \right) \vee \left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi \le x < 2\pi+2k\pi\right) \\ 2\sqrt{1-\sin x}+c_2, \ \text{se} \ \frac{\pi}{2}+2k\pi cambia definizione, ossia gli infiniti punti di frontiera degli intervalli da te riportati. Tuttavia, puoi semplificare notevolmente le cose usando la periodicità e gli archi associati. Ma qui non conviene farlo, perché la tua non è una primitiva su $\mathbb{R}$ essendo discontinua in infiniti punti (esercizio: quali?) e quindi, essendo una funzione di una variabile, non è neanche derivabile negli stessi punti. Invece, è derivabile in opportuni intervalli propri di $\mathbb{R}$. Perciò, dipende dove devi poi integrare. Per questo è un po' pericoloso studiare gli integrali indefiniti come esercizio per determinare l'insieme di tutte le primitive di una data funzione: spesso, non si verificano tutte le proprietà che le primitive devono avere ma soltanto la parte "calcolosa": ossia, che una presunta primitiva $G$ di una funzione $g$ soddisfi $G'(x)=g(x)$ per ogni $x\in\text{dom}(g)$.

Intanto, per rispondere al tuo esercizio, mi verrebbe da dire che la funzione è discontinua in tutti gli infiniti punti del tipo:
$2kpi$
$pi/2+2kpi$
$(3pi)/2 + 2kpi$
$2pi + 2kpi$

perchè in questi punti in cui la funzione cambia definizione, il limite destro e il limite sinistro non coincidono.
Quindi, mi chiedo, l'ipotetica domanda "calcola l'integrale indefinito $ \int sqrt(1+sin(x)) dx $ è una domanda "mal posta", e avrebbe senso solo nel momento in cui andassi a calcolare in un certo intervallo (ad esempio come avevi chiesto tu $ \int_{0}^{2\pi} sqrt(1+sin(x)) dx $), oppure si può risolvere l'integrale indefinito ma utilizzando un approccio diverso dal mio?

[Mephlip]

Dipende come hai fatto quei conti. Se hai lasciato $c_1$ e $c_2$ arbitrarie, lo studio della continuità dipende dalle scelte di $c_1$ e $c_2$; tuttavia, se scegli $c_1=c_2$, è invece discontinua solamente nei punti del tipo $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$. Se non ti torna questo discorso, scrivi i conti che hai fatto sullo studio della continuità e li controlliamo insieme.

Riguardo l'altra domanda: non è mal posta ma quando si calcola l'integrale definito usando l'indefinito potrebbe risultare pericoloso, specialmente per uno studente inesperto. Lo studente alle prime armi potrebbe essere abituato a risolvere prima l'integrale indefinito e poi quello definito, e potrebbe essere abituato a vedere il calcolo dell'integrale definito come qualcosa di esclusivamente collegato al teorema fondamentale del calcolo integrale (ossia, qualcosa di esclusivamente collegato alla differenza del valore di una qualunque primitiva agli estremi). Potrebbe quindi pensare che, in questo caso, si possa calcolare:
$$\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\sin x}\text{d}x=F(2\pi)-F(0)=-2\sqrt{1-\sin 2\pi}-(-2\sqrt{1-\sin 0})=0$$
ma si vede facilmente ciò è falso, in quanto da $\sqrt{1+\sin x} \ge 0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ e dal fatto che $\sqrt{1+\sin x}$ è continua in almeno un punto di $[0,2\pi]$ segue che $\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\sin x}\text{d}x>0$. L'errore viene dal fatto che $F_k$, non essendo continua in $[0,2\pi]$, non è una primitiva di $\sqrt{1-\sin x}$ su $[0,2\pi]$ e quindi non vale il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Il problema si può aggirare come segue: si usa l'arbitrarietà di $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$ ponendo $c_1=c_2$ (a questo punto, puoi anche prendere per semplicità $c_1=0$ e quindi anche $c_2=0$), al variare di $k\in\mathbb{Z}$ quelle che hai trovato tu sono primitive sugli intervalli del tipo $I_k:=\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$; puoi quindi calcolare l'integrale spezzandolo opportunamente.

Ora, qualcuno potrebbe giustamente sindacare sul fatto che $F_k$ non è continua in $\frac{3\pi}{2}$ e quindi non si può comunque usare il teorema fondamentale del calcolo integrale. Per ovviare a ciò, si usa la solita tecnica dell'analisi. Per ogni $\epsilon>0$ risulta:
$$\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\sin x}\text{d}x=\lim_{\epsilon \to 0^+} \left(\int_0^{\frac{3\pi}{2}-\epsilon} \sqrt{1+\sin x} \text{d}x +\int_{\frac{3\pi}{2}-\epsilon}^{\frac{3\pi}{2}+\epsilon} \sqrt{1+\sin x} \text{d}x+\int_{\frac{3\pi}{2}+\epsilon}^{2\pi} \sqrt{1+\sin x} \text{d}x\right)$$
Dato che per ogni $x\in\mathbb{R}$ è $0 \le \sqrt{1+\sin x} \le \sqrt{2}$, segue che:
$$0 \le \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\frac{3\pi}{2}-\epsilon}^{\frac{3\pi}{2}+\epsilon} \sqrt{1+\sin x}\text{d}x \le \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\frac{3\pi}{2}-\epsilon}^{\frac{3\pi}{2}+\epsilon} \sqrt{2} \text{d}x=\lim_{\epsilon \to 0^+} (2\sqrt{2} \epsilon)=0$$
Dunque, nel limite di prima il contributo dell'integrale "centrale" è $0$. Ora, gli intervalli $\left[0,\frac{3\pi}{2}-\epsilon\right]$ e $\left[\frac{3\pi}{2}+\epsilon,2\pi\right]$ sono propriamente contenuti negli intervalli in cui i singoli pezzi di $F_k$ sono derivabili e quindi in essi puoi usarle come primitive per il calcolo dell'integrale definito.

P.S.: L'integrale si calcola anche come segue:
$$\int \sqrt{1+\sin x}\text{d}x=\int \sqrt{\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\text{d}x=\int \sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)^2}\text{d}x$$
$$=\int \left|\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right|\text{d}x=2\text{sgn}\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right) \left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)+c$$

[claudio.spennati]

Grazie mille per la spiegazione, molto dettagliata!