Analisi matematica di base
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Propongo un esercizio simpatico
Sia \( (x_n)_{n \in \mathbb{N} } \subset \mathbb{R} \) la successione definita da \[ x_n := \frac{1}{n^2 \sin n}. \]
1) Sia \(x \in \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \) definito come il seguente limite \( x:=\lim_{n \to \infty} x_n \) se esso esiste. Se doveste provare ad indovinare quale tra le seguenti opzioni direste che è vera:
a) \(x = 0 \).
b) \(x = \infty \).
c) \(x\) non esiste.
d) Altro
2) Riuscite a dimostrare il vostro guess?
Buon divertimento ...
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Studente Anonimo
17 set 2023, 05:56
ciao a tutti ho difficoltà con le notazioni sulle serie
sia (a_n) una successione di numeri reali, poniamo
$S_0=a_0<br />
.<br />
.<br />
.<br />
S_n=a_0+...+a_n=sum_(k=0)^(n) a_k$ per ogni n in N, $n>=2$
tale numero reale $S_n$ si chiama somma parziale n-sima
Si chiama serie numerica di termine generale $a_n$ la successione delle somme parziali $(S_n)_(ninN$ e tale successione si denota con la $sum_(n=0)^(oo) a_n$
Poi dice che la serie numerica è convergente se esiste $lim n->oo S_n= s in R$ tale ...
Stavo leggendo la soluzione al problema del moto di un corpo in un potenziale centrale \(\displaystyle V(r) \), dal libro di Nivaldo Lemos, Analythical Mechanics, pag. 32-33. Lui imposta il problema in 2D con coordinate polari \(\displaystyle r(t) \),\(\displaystyle \phi(t) \), giungendo alle seguenti equazioni:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
E=\frac{m}{2}\dot{r}^2(t)+\frac{l^2}{2mr^2(t)}+V(r)
\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( mr^2(t) \dot{\phi}(t)\right )=0
\end{matrix}\right. ...
Salve, per caso sapreste dirmi dove posso procurarmi degli appunti, dispense o qualsivoglia forma di materiale sulle serie a termini complessi? Purtroppo la quasi totalità dei link presenti qui https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=53695 sono vecchi e non funzionano più.
Ho provato a consultare l'Acerbi-Buttazzo e il Marcellini-Sbordone e non c'è nulla. Il Giusti dedica due pagine in croce.
Gli argomenti nel programma vanno sotto questi nomi:
Successioni complesse.
Teorema sulla convergenza di una successione ...
Buonasera a tutti. Ho questo esercizio che non riesco a concludere.
Siano
$$
f(x)=\begin{cases}
-\frac{x}{x+2} \text{ se } x\geq 0\\
4x(1+x) \text{ se } -2
ciao ragazzi , svolgendo un' limite avente come variabile \alpha , si arriva alla seguente situazione:
\( \lim_{x\rightarrow 0^+} \) $1/(1-\alpha) - (x^(1-\alpha))/(1-\alpha)$
A questo punto la soluzione mi dice che :
- Se $0< \alpha <1$ il risultato è $1/(1-\alpha)$, in quanto il termine con la $x$ tende a $0$ più velocemente del primo termine , e quindi può essere trascurato;
-se $\alpha>1$ , allora il risultato è \( +\infty \) , per il discorso inverso , e di conseguenza ...
Ciao,
avrei un dubbio riguardo questo https://www.matematicamente.it/forum/fu ... 30486.html
Nella risposta "nicola de rosa" per sostituzione fa un cambio di variabile: $ -t = x $ e successivamente rifà il cambio di variabile scrivendo che $ x = t $, come mai può "tornare indietro" senza considerare che c'è il segno meno?
Questo per dimostrare che $ int_(-a)^(a) f(x) dx = 2 int_(0)^(a) f(x) dx $ se $ f(x) $ è pari. Guardando un grafico è ovvio, ma stavo cercando una dimostrazione.
Grazie in anticipo
Un chiarimento banale, perché ho un po' di confusione:
Sia $A={(x,y)| 1<x^2+y^2<2x}$, passando a coordinate polari si ottiene $1<rho<2cos theta$; per quanto riguarda $theta$, se prendo come dominio di definizione $[0,2pi]$ (posso farlo?) allora ottengo $0<theta<pi/3$, è corretto?
Grazie
Potreste dare uno sguardo a questo svolgimento e dirmi se ho fatto tutto bene?
Devo studiare il carattere della seguente serie numerica al variare di $x\inR$
$sum_(n=1)^(+oo) x^n*n*sin(1/(2n^2+1))$
Poiché $sin(1/(2n^2+1))>=0 \forall n\in N, n>=1$, posso dire che:
Se $x>=0$ la serie è a termini non negativi
Se $x<0$ la serie è a segni alterni
Studio l'assoluta convergenza e per confronto asintotico ho che per $n->+oo$
$|x^n*n*sin(1/(2n^2+1))|"~" |(x^n*n)/(2n^2+1)|$
per il criterio della radice n-sima ho ...
Salve, avrei bisogno di nuovo di una mano.
$int int int_T 2z dx dy dx$ dove $T={(x,y,z)|2 sqrt(x^2+y^2)<z<x+2}$.
Allora io per risolverlo avrei pensato di procedere integrando $int int_E (int_(2sqrt(x^2+y^2))^(x+2) 2zdz)dxdy$, dove E sarebbe l'intersezione tra le due superfici che delimitano T. E' corretto? Mi aspetto di no. In tal caso quale può essere una strada?
Salve a tutti, non mi è chiara la seguente proposizione:
Sia $I\subseteq R$ un intervallo. sia $f:I->R$ una funzione derivabile in $I$. Supponiamo che $exists M>0 t.c. |f'(x)|<=M$ $\forall x\in I $ allora $f$ è Lipschitziana in $I$.
Mi porta come esempio $f(x)=x$ $ forall x \in [0,1]$ e mi dice che non è Lipschitziana. Ma perché? La derivata prima di $f$ in $x$ è $1 forall x\in [0,1]$ quindi sicuramente esisterà ...
Salve, ho difficoltà con il seguente integrale:
$int int int_D cos (x+y+z) dxdydz$ dove $D={(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=1}$. Mi sembra che passare a coordinate sferiche renda l'integrazione abbastanza complicata, o sbaglio? Qualcuno mi può dare qualche idea?
Poniamoci il seguente problema. Vogliamo stabilire se la seguente formula (di Grandi)
\[
1-1+1-1+1-1+... = \frac{1}2{}
\]
è corretta oppure no.
La risposta è: dipende. Infatti, se accettiamo la classica definizione di serie (di Cauchy) come "limite della successione delle somme parziali", la risposta è no: la serie non converge. Infatti le somme parziali sono
\[
1 \qquad
1-1 = 0\qquad
1-1+1 = 1\qquad
1-1+1-1 = 0\qquad
1-1+1-1+1 = 1\qquad
\dots
\]
Quindi le somme parziali oscillano tra zero e ...
Buongiorno a tutti,
Mi trovo particolarmente in difficoltà nell'affrontare questo esercizio: mi si chiede di studiare per quali valori del parametro $a$, con $a \ne 0$ e $a$ reale, la seguente funzione è strettamente concava nel primo quadrante:
$$g(x, y) = \left(\frac{1}{3}x^{-a} + \frac{2}{3}y^{-a}\right)^{-1/a}$$
dunque ho anche $x > 0$ e $y > 0$ come condizione.
Onestamente non so come procedere.
Avevo ...
Ho alcune difficoltà nella risoluzione degli integrali generalizzati e non sono certo di alcuni passaggi. Potreste dare uno sguardo e indirizzarmi?
1) $int_(0)^(+oo) x^(3/2)/(e^x-1-sinx) dx :=I$ Ho che la funzione è continua in $(0,+oo)$ ed è positiva in $(0,+oo)$ quindi divido l'integrale in: $I_1= int_(0)^(1) f(x) dx$ e $I_2=int_(1)^(+oo) f(x) dx$
Per $I_1$:
Ho cercato di usare il confronto asintotico, il fatto è che $e^x-1$ e $sinx$ sono entrambi asintoticamente equivalenti a ...
Ciao,
vi riporto qui un esercizio che non riesco a risolvere.
Ammetto che non ho ben chiari i problemi che riguardano sup, inf, insiemi aperti, chiusi.. eppure ho studiato e capito la teoria. Vi chiedo di suggerirmi il procedimento da seguire, perché quelle due condizioni (dell'es. qui sotto) non so come combinarle.
Sia A il sottoinsieme di R definito da
$ A={x in R : x>0 , sin(1/x)>=0} $
a) Qual è l'inf di A?
b) Per quali $ alpha in R $ l'insieme $ (alpha, + ∞) nn A $ è aperto?
c) Per quali ...
Buona sera, mi ritrovo a scrivere nuovamente, questa volta per verificare lo svolgimento dello studio della convergenza di due serie.
1) \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n \frac{5^n + (n+1)!}{10^n+(n+2)!} \)
Essendo una serie a termini alterni ho provato innanzitutto a studiarne la convergenza assoluta, vale a dire la convergenza della serie
\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5^n + (n+1)!}{10^n+(n+2)!} \)
Sapendo che il fattoriale va più velocemente all'infinito rispetto ...
Salve ragazzi mi aiutate a capire se questi integrali notevoli sono scritti correttamente? perché confrontandoli con quelli presenti su **** trovo delle discrepanze. Può essere che gli intervalli di integrazione non siano con $e$ ma con un numero reale $a$ che rispetti determinate condizioni?
$int_(e)^(+oo) 1/(x^\alpha (logx)^beta) dx$ tale integrale : $ { ( alpha>1,"converge" ),( alpha<1, "diverge"),( alpha=1 " e " beta>1,"converge" ),( alpha=1" e "beta<=1, "diverge" ):} $
Invece su **** l'intervallo di integrazione è $a,+oo$ con $a>1$ e stessi ...
Esercizio di Geometria sui trinagoli
Miglior risposta
Chiedo aiuto per questa dimostrazione:
Sia CR la bisettrice dell'angolo C del triangolo ABC rettangolo in A. Conduci da R la perpendicolare RK all'ipotenusa CB. RK incontra la retta del lato AC in F. Dimostrare che i triangoli KRA e RBF sono isosceli e che AK e FB sono paralleli
Allego figura
grazie
Buona domenica, ho dei dubbi sullo svolgimento della seguente traccia.
Trovare minimo e massimo della seguente funzione sull'intervallo [-1, 1]
\(\displaystyle f(x) = \frac{1-e^{x^2}}{x^2} \)
Ho svolto in questo modo l'esercizio:
Ho iniziato con il calcolo della derivata prima della funzione, ovvero
\(\displaystyle -2 \frac{(e^{x^2} \cdot x^2 +1 -e^{x^2})}{x^3} \)
Ho trovato il suo dominio \(\displaystyle Dom f'(x) = R \setminus \{ 0 \} \)
A questo punto sono andato a cercare dove la ...
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