Studio punti di estremo relativo/assoluto di una funzione a due variabili
Buonasera, mi sono imbattuto in questo esercizio in un tema d'esame di Analisi II e non so assolutamente quello che sto facendo!
Il testo riporta:
La funzione $f:R^2 \rightarrow R $ data da $f(x,y) = (x^2+y^2)e^{-x^2}/e^{y^2}$
A. Nessuna delle altre
B. Non ammette min assoluto ed il max assoluto è $1/e$
C. ha un unico punto di min ed il luogo dei punti di max non è chiuso
D. ha un unico punto di min e il luogo dei punti di max è un compatto
La risposta corretta è la D, ma io non riesco nemmeno a formulare una risposta.
Ho iniziato calcolando il gradiente
$ (\partial f)/(\partial x) = e^{-x^2-y^2}(2x)(1-x^2-y^2) $
$ (\partial f)/(\partial y) = e^{-x^2-y^2}(2y)(1-x^2-y^2) $
E ponendo queste due espressioni uguali a zero ho scoperto che si annullano in tutti i punti $(0, \alpha)$ (1) e $(\alpha, 0)$ (2) al variare di $\alpha \in R$. A questo punto ho pensato di scrivere anche le derivate seconde e ricavare il determinante della matrice Hessiana nel caso (1) e (2) per studiarlo in funzione di $\alpha$
$ (\partial^2 f)/(\partial x^2) = e^{-x^2-y^2}(4x^4+4x^2y^2-10x^2-2y^2+2) $
$ (\partial^2 f)/(\partial y^2) = e^{-x^2-y^2}(4y^4+4x^2y^2-10y^2-2x^2+2) $
$ (\partial f)/(\partial y \partial x) = e^{-x^2-y^2}[-2x(2y-2x^2y-2y^3)-4xy] $
Risultando in:
Caso (1) per $(0, \alpha \equiv y)$: $det(H_f) = e^{-2y^2}(-2y^2)(4y^4-10y^2+2)$
Che risulta essere non negativo nei punti ${ -1= 0 }$ oppure ${ y<-1 \wedge y>1 \wedge 4y^4-10y^2+2 <= 0 }$
Caso (2) per $(\alpha \equiv x, 0)$ : $det(H_f) = e^{-2x^2}(-2x^2)(4x^4-10x^2+2)$
Che risulta essere non negativo nei punti ${ -1= 0 }$ oppure ${ x<-1 \wedge x>1 \wedge 4x^4-10x^2+2 <= 0 }$
Presi questi quattro insiemi di punti, ho confrontato per quali valori di $x$ e $y$ si ottiene $h_{11} > 0$ (punto di min) e $h_{11] < 0$ (punto di max) ed ho scritto che
I punti di minimo sono: ${ -1= 0 } \cup { -1= 0 }$
I punti di massimo sono: $ { y<-1 \wedge y>1 \wedge 4y^4-10y^2+2 <= 0 } \cup { x<-1 \wedge x>1 \wedge 4x^4-10x^2+2 <= 0 }$
Nel frattempo ho verificato il comportamento della funzione lungo una direzione "comoda", $x \rightarrow \pm \infty$ e ho trovato che $f(x,y) \rightarrow 0$ per cui è limitata
Non sono sicuro di aver fatto i calcoli correttamente dal momento in cui ho iniziato a studiare il segno del determinante.. Comunque arrivato qui mi sono bloccato. A prima vista il primo insieme potrebbe essere vuoto! Ma è necessario studiare gli zeri di un'equazione di quarto grado.
Esiste qualche "trucchetto" o nozione di teoria che ho completamente sorvolato e per cui mi sono ritrovato in questo inferno di calcoli? Oppure devo rassegnarmi e continuare a studiare questi due insiemi di punti?
Ultima domanda: sia quello che ho scritto corretto, come verifico che il luogo dei punti di max è compatto?
Il testo riporta:
La funzione $f:R^2 \rightarrow R $ data da $f(x,y) = (x^2+y^2)e^{-x^2}/e^{y^2}$
A. Nessuna delle altre
B. Non ammette min assoluto ed il max assoluto è $1/e$
C. ha un unico punto di min ed il luogo dei punti di max non è chiuso
D. ha un unico punto di min e il luogo dei punti di max è un compatto
La risposta corretta è la D, ma io non riesco nemmeno a formulare una risposta.
Ho iniziato calcolando il gradiente
$ (\partial f)/(\partial x) = e^{-x^2-y^2}(2x)(1-x^2-y^2) $
$ (\partial f)/(\partial y) = e^{-x^2-y^2}(2y)(1-x^2-y^2) $
E ponendo queste due espressioni uguali a zero ho scoperto che si annullano in tutti i punti $(0, \alpha)$ (1) e $(\alpha, 0)$ (2) al variare di $\alpha \in R$. A questo punto ho pensato di scrivere anche le derivate seconde e ricavare il determinante della matrice Hessiana nel caso (1) e (2) per studiarlo in funzione di $\alpha$
$ (\partial^2 f)/(\partial x^2) = e^{-x^2-y^2}(4x^4+4x^2y^2-10x^2-2y^2+2) $
$ (\partial^2 f)/(\partial y^2) = e^{-x^2-y^2}(4y^4+4x^2y^2-10y^2-2x^2+2) $
$ (\partial f)/(\partial y \partial x) = e^{-x^2-y^2}[-2x(2y-2x^2y-2y^3)-4xy] $
Risultando in:
Caso (1) per $(0, \alpha \equiv y)$: $det(H_f) = e^{-2y^2}(-2y^2)(4y^4-10y^2+2)$
Che risulta essere non negativo nei punti ${ -1
Caso (2) per $(\alpha \equiv x, 0)$ : $det(H_f) = e^{-2x^2}(-2x^2)(4x^4-10x^2+2)$
Che risulta essere non negativo nei punti ${ -1
Presi questi quattro insiemi di punti, ho confrontato per quali valori di $x$ e $y$ si ottiene $h_{11} > 0$ (punto di min) e $h_{11] < 0$ (punto di max) ed ho scritto che
I punti di minimo sono: ${ -1
I punti di massimo sono: $ { y<-1 \wedge y>1 \wedge 4y^4-10y^2+2 <= 0 } \cup { x<-1 \wedge x>1 \wedge 4x^4-10x^2+2 <= 0 }$
Nel frattempo ho verificato il comportamento della funzione lungo una direzione "comoda", $x \rightarrow \pm \infty$ e ho trovato che $f(x,y) \rightarrow 0$ per cui è limitata
Non sono sicuro di aver fatto i calcoli correttamente dal momento in cui ho iniziato a studiare il segno del determinante.. Comunque arrivato qui mi sono bloccato. A prima vista il primo insieme potrebbe essere vuoto! Ma è necessario studiare gli zeri di un'equazione di quarto grado.
Esiste qualche "trucchetto" o nozione di teoria che ho completamente sorvolato e per cui mi sono ritrovato in questo inferno di calcoli? Oppure devo rassegnarmi e continuare a studiare questi due insiemi di punti?
Ultima domanda: sia quello che ho scritto corretto, come verifico che il luogo dei punti di max è compatto?
Risposte
Intanto $f ge 0$ e si ha $f=0$ solo per $x=y=0$ che quindi è min relativo e assoluto, per cui la risposta B è da scartare.
Si può poi scrivere la funzione come ($rho= sqrt(x^2+y^2)$)
$f = rho^2 * e^(-rho^2)$
Questa funzione è molto più semplice da studiare ed ha un min in $rho=0$ (e già lo sapevamo) e un massimo in $rho=1$ (e infatti il gradiente si annulla per $x^2+y^2=1$) ovvero per la circonferenza unitaria, che rappresenta il luogo dei punti di massimo.
Ma la circonferenza unitaria è un insieme chiuso e limitato e quindi per noto teorema è un compatto di $RR^2$.
Pertanto la risposta corretta è la D.
Si può poi scrivere la funzione come ($rho= sqrt(x^2+y^2)$)
$f = rho^2 * e^(-rho^2)$
Questa funzione è molto più semplice da studiare ed ha un min in $rho=0$ (e già lo sapevamo) e un massimo in $rho=1$ (e infatti il gradiente si annulla per $x^2+y^2=1$) ovvero per la circonferenza unitaria, che rappresenta il luogo dei punti di massimo.
Ma la circonferenza unitaria è un insieme chiuso e limitato e quindi per noto teorema è un compatto di $RR^2$.
Pertanto la risposta corretta è la D.
Era molto più semplice di quello che mi ero costruito.. darò la colpa all'orario.
Ti ringrazio, sei stato molto chiaro.
Un'unica cosa: quando affermi $\rho =1$ come punto(i) di massimo, lo fai a priori per un qualche ragionamento o studi la derivata seconda in quel punto?
Ti ringrazio, sei stato molto chiaro.
Un'unica cosa: quando affermi $\rho =1$ come punto(i) di massimo, lo fai a priori per un qualche ragionamento o studi la derivata seconda in quel punto?
Non sarebbe stato difficile fare la derivata seconda, ma in realtà ho ragionato sul fatto che parte da zero, tende a zero all'infinito, è continua, sempre positiva e quindi deve avere un massimo.
Certamente la derivata seconda non era complicata, mi interessava il ragionamento alternativo.
Ti ringrazio nuovamente, sei stato essenziale.
Ti ringrazio nuovamente, sei stato essenziale.
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