Formula di trigonometria

[marthy_92]

Ciao! Ho difficoltà a capire la riscrittura di una relazione trigonometrica

$ k^3cos^3(t)=3/4k^3cos(t)+1/4k^3cos(3t) $

Partendo dal secondo membro, applicando le formule
fondamentali della trigonometria, sono riuscita a trovare il primo;
purtroppo però dal primo membro non riesco a capire come
arrivare al secondo...

[ghira1]

Hai usato de Moivre?

[marthy_92]

No, ma perché avrei dovuto usare de moivre?
Non sono in campo complesso

[axpgn]

Formula triplicazione del coseno.

[ghira1]

"Marthy_92":No, ma perché avrei dovuto usare de moivre?
Non sono in campo complesso

Non importa.

Prendi la parte reale o la parte immaginaria, quella che ti serve.

[pilloeffe]

Ciao Marthy_92,

"Marthy_92":purtroppo però dal primo membro non riesco a capire come
arrivare al secondo...

Omettendo $k^3 $, che naturalmente è irrilevante, farei così:

$ cos^3(t) = cos(t) \cdot cos^2(t) = cos(t)[1 - sin^2(t)] = cos(t)[1 - (1 - cos(2t))/2] = $

$ = cos(t) - 1/2 cos(t) + 1/2 cos(2t) cos(t) = 1/2 cos(t) + 1/2 cos(2t) cos(t) = $

$ = 1/2 cos(t) + 1/2 [1/2 cos(2t + t) + 1/2 cos(2t - t)] = 1/2 cos(t) + 1/4 cos(3t) + 1/4 cos(t) = $

$ = 3/4 cos(t) + 1/4 cos(3t) $

[axpgn]

Sinceramente a 'sto punto non ho capito cosa richiede l'OP ...
Non è altro che la formula di triplicazione del coseno ma comunque se da uno dei due membri ha ricavato l'altro qual è il problema nel fare l'inverso?

[pilloeffe]

"axpgn":Sinceramente a 'sto punto non ho capito cosa richiede l'OP ...

Beh no, la richiesta è chiara ed è quella che compare citata nel mio post precedente...

"axpgn":Non è altro che la formula di triplicazione del coseno ma comunque se da uno dei due membri ha ricavato l'altro qual è il problema nel fare l'inverso?

Ecco, su questo invece concordo con te...
Infatti sarebbe stato anche più semplice così:

$cos(3t) = cos(2t + t) = cos(2t) cos(t) - sin(2t) sin(t) = $
$ = (cos^2(t) - sin^2(t)) cos(t) - 2 sin(t) cos(t) sin(t) = $
$ = (2cos^2(t) - 1)cos(t) - 2 sin^2(t) cos(t) = 2cos^3(t) - cos(t) - 2(1 - cos^2(t)) cos(t) = $
$ = 2cos^3(t) - 3 cos(t) + 2cos^3(t) = 4 cos^3(t) - 3 cos(t) $

Da quest'ultima poi si ricava facilmente $ cos^3(t) = 3/4 cos(t) + 1/4 cos(3t) $

[axpgn]

"pilloeffe":Beh no, la richiesta è chiara ed è quella che compare citata nel mio post precedente...

Beh, no, perché se ha trovato la strada per andare da dx a sx non capisco perché chieda come fare il cammino inverso, no?

[pilloeffe]

"axpgn":non capisco perché chieda come fare il cammino inverso, no?

Perché quella è la richiesta ed è chiara: magari il cammino diretto è stato fatto dal professore che poi ha richiesto loro di dimostrarla col cammino inverso...