Studio di funzione con logaritmo e valore assoluto
Salve a tutti. Ho difficoltà nella risoluzione di questo studio di funzione.
$f(x)=log^2|x|/(2log|x|-1)$. Il dominio è $R-{0,+\sqrt(e), -\sqrt(e)}$. La funzione è negativa in $(-sqrt(e),+sqrt(e))$. Stavo studiando gli eventuali punti di discontinuità e ho avuto difficoltà nella risoluzione dei limiti.
In particolare quando calcolo $lim_(x->-sqrt(e)^+) log^2|x|/(2log|x|-1)$ ho che poiché la funzione è negativa a destra di $-sqrt(e)$ ho $lim_(x->-sqrt(e)^+) log^2(-x)/(2log(-x)-1)$. Andando a fare le varie sostituzioni non dovrei trovare che $log^2(-x) = 1/4*1^+$ e $2log(-x)-1 = 2*1/2*1^+ -1 = 0^+$ e che quindi il limite tenda a $+oo$? Però graficamente risulta $-oo$. Cosa mi sfugge?
Nel calcolo del limite per $x$ che tende a $0$ da destra e sinistra ho un problema analogo. La funzione è negativa sia a destra che sinistra di $0$ quindi dovrei avere lo stesso limite da calcolare. giusto?
Ho provato a tracciare il grafico di $log(-x)$ per farmi un'idea però non vedo nulla che si scosti troppo da quello che ho concluso io.
Vi ringrazio!
$f(x)=log^2|x|/(2log|x|-1)$. Il dominio è $R-{0,+\sqrt(e), -\sqrt(e)}$. La funzione è negativa in $(-sqrt(e),+sqrt(e))$. Stavo studiando gli eventuali punti di discontinuità e ho avuto difficoltà nella risoluzione dei limiti.
In particolare quando calcolo $lim_(x->-sqrt(e)^+) log^2|x|/(2log|x|-1)$ ho che poiché la funzione è negativa a destra di $-sqrt(e)$ ho $lim_(x->-sqrt(e)^+) log^2(-x)/(2log(-x)-1)$. Andando a fare le varie sostituzioni non dovrei trovare che $log^2(-x) = 1/4*1^+$ e $2log(-x)-1 = 2*1/2*1^+ -1 = 0^+$ e che quindi il limite tenda a $+oo$? Però graficamente risulta $-oo$. Cosa mi sfugge?
Nel calcolo del limite per $x$ che tende a $0$ da destra e sinistra ho un problema analogo. La funzione è negativa sia a destra che sinistra di $0$ quindi dovrei avere lo stesso limite da calcolare. giusto?
Ho provato a tracciare il grafico di $log(-x)$ per farmi un'idea però non vedo nulla che si scosti troppo da quello che ho concluso io.
Vi ringrazio!
Risposte
Ciao paolo1712,
Solo un'osservazione, che però dovrebbe aiutarti nello studio...
Si vede subito che la funzione proposta è pari, dato che $f(-x) = f(x) $, sicché per il suo studio puoi limitarti a $D^+ := (0, \sqrt e)\cup(\sqrt e, +\infty) $
Solo un'osservazione, che però dovrebbe aiutarti nello studio...
Si vede subito che la funzione proposta è pari, dato che $f(-x) = f(x) $, sicché per il suo studio puoi limitarti a $D^+ := (0, \sqrt e)\cup(\sqrt e, +\infty) $
Hai ragione potevo dedurlo dal dominio stesso. Però nell'eventualità in cui dovessi ritrovarmi in situazioni affini con funzioni non simmetriche, come dovrei comportarmi con un limite simile?
Beh,
Guardiamo il caso in esame per $x > 0 $:
$\lim_{x \to 0^+} log^2 x/(2 log x - 1) = \lim_{x \to 0^+} log x/(2 - 1/logx) = - \infty $
Per $x < 0 $ si ha:
$\lim_{x \to 0^-} log^2(-x)/(2 log(-x) - 1) = \lim_{x \to 0^-} log(-x)/(2 - 1/log(-x)) = - \infty $
Per $x = \sqrt e $ (asintoto verticale) il discorso è più semplice e dovresti ottenere il risultato seguente:
$\lim_{x \to \sqrte^\pm} log^2 x/(2 log x - 1) = \pm \infty $
Guardiamo il caso in esame per $x > 0 $:
$\lim_{x \to 0^+} log^2 x/(2 log x - 1) = \lim_{x \to 0^+} log x/(2 - 1/logx) = - \infty $
Per $x < 0 $ si ha:
$\lim_{x \to 0^-} log^2(-x)/(2 log(-x) - 1) = \lim_{x \to 0^-} log(-x)/(2 - 1/log(-x)) = - \infty $
Per $x = \sqrt e $ (asintoto verticale) il discorso è più semplice e dovresti ottenere il risultato seguente:
$\lim_{x \to \sqrte^\pm} log^2 x/(2 log x - 1) = \pm \infty $
ok e nel caso in cui il limite tende a $-sqrt(e)^+$ perché vien fuori $-oo$ e non $+oo$? (rispettivamente $-sqrt(e)^-, +oo$)
Beh, perché $ -\sqrt(e)^+ $ sono valori a destra di $- \sqrt(e) $, quindi meno negativi, sicché si ha:
$ \lim_{x \to -\sqrt(e)^+} log^2(-x)/(2 log(-x) - 1) = - \infty $
mentre $ -\sqrt(e)^- $ sono valori a sinistra di $- \sqrt(e) $, quindi più negativi, sicché si ha:
$ \lim_{x \to -\sqrt(e)^-} log^2(-x)/(2 log(-x) - 1) = + \infty $
$ \lim_{x \to -\sqrt(e)^+} log^2(-x)/(2 log(-x) - 1) = - \infty $
mentre $ -\sqrt(e)^- $ sono valori a sinistra di $- \sqrt(e) $, quindi più negativi, sicché si ha:
$ \lim_{x \to -\sqrt(e)^-} log^2(-x)/(2 log(-x) - 1) = + \infty $
@Paolo1712: Alternativamente, poni $t:=\log |x|$. Dunque, ricordando che il logaritmo è crescente (e quindi, i numeri più grandi hanno logaritmi più grandi) e che il modulo di un numero $x_0$ riflette $x_0$ rispetto all'origine dell'asse $x$, usando un po' di notazione pesante con gli esponenti $+$ e $-$ per denotare verso dove tendono le variabili otteniamo che: quando $x \to \sqrt{e}^+$, si ha $t \to \log|\sqrt{e}^+|=\log (e^{1/2})^+=\left(1/2)^+$, quando $x \to \sqrt{e}^-$, si ha $t \to \log|\sqrt{e}^-|=\log (e^{1/2})^-=\left(1/2)^-$, quando $x \to -\sqrt{e}^+$ (che è più grande di $-\sqrt{e}$, quindi sta "più a destra di $-\sqrt{e}$" e perciò, facendone il modulo, "sta più a sinistra di $\sqrt{e}$" e quindi è più piccolo di $\sqrt{e}$; che è poi quello che ti ha già detto pilloeffe) si ha $t \to \log|-\sqrt{e}^+|=\log (e^{1/2})^{-} =\left(1/2)^-$ e quando $x \to -\sqrt{e}^-$, si ha $t \to \log|-\sqrt{e}^-|=\log (e^{1/2})^+=\left(1/2)^+$. Perciò:
$$\lim_{x \to \sqrt{e}^+} \frac{\log^2|x|}{2\log|x|-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^+} \frac{t^2}{2t-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^+} \frac{t^2}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}$$
$$\lim_{x \to \sqrt{e}^-} \frac{\log^2|x|}{2\log|x|-1}=\lim_{\left(t \to \frac{1}{2}\right)^-} \frac{t^2}{2t-1}=\lim_{\left(t \to \frac{1}{2}\right)^-} \frac{t^2}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}$$
$$\lim_{x \to -\sqrt{e}^+} \frac{\log^2|x|}{2\log|x|-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{t^2}{2t-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{t^2}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}$$
$$\lim_{x \to -\sqrt{e}^-} \frac{\log^2|x|}{2\log|x|-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^+} \frac{t^2}{2t-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^+} \frac{t^2}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}$$
Ora, secondo me, è molto più semplice stabilire cosa sta succedendo. In sostanza, impara bene le proprietà di monotonia delle funzioni elementari e fatti un disegno dell'asse $x$ ogni volta che hai questi dubbi: se ragioni sul fatto che tendere a un numero da destra/sinistra si comporta in maniera speculare tra positivi e negativi (vedendo il tutto con la lunghezza dei segmenti su un asse), è molto più semplice.
$$\lim_{x \to \sqrt{e}^+} \frac{\log^2|x|}{2\log|x|-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^+} \frac{t^2}{2t-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^+} \frac{t^2}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}$$
$$\lim_{x \to \sqrt{e}^-} \frac{\log^2|x|}{2\log|x|-1}=\lim_{\left(t \to \frac{1}{2}\right)^-} \frac{t^2}{2t-1}=\lim_{\left(t \to \frac{1}{2}\right)^-} \frac{t^2}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}$$
$$\lim_{x \to -\sqrt{e}^+} \frac{\log^2|x|}{2\log|x|-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{t^2}{2t-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{t^2}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}$$
$$\lim_{x \to -\sqrt{e}^-} \frac{\log^2|x|}{2\log|x|-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^+} \frac{t^2}{2t-1}=\lim_{t \to \left(\frac{1}{2}\right)^+} \frac{t^2}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}$$
Ora, secondo me, è molto più semplice stabilire cosa sta succedendo. In sostanza, impara bene le proprietà di monotonia delle funzioni elementari e fatti un disegno dell'asse $x$ ogni volta che hai questi dubbi: se ragioni sul fatto che tendere a un numero da destra/sinistra si comporta in maniera speculare tra positivi e negativi (vedendo il tutto con la lunghezza dei segmenti su un asse), è molto più semplice.
Tutto chiaro, grazie mille a entrambi!
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