Risultati differenti integrale tangente al cubo
Ho risolto questo integrale $int tan^3 dx$ per sostituzione. Ho posto $y=tanx$ da cui $dx=1/(1+y^2)dy$ da cui
$int y^3/(1+y^2) dy$, ho fatto la divisione tra polinomi e ho trovato $int y dy - int y/(y^2+1) dy$ da cui ancora
$y^2/2 - 1/2log|y^2+1| +c = (tan^2x)/2-log(tan^2x+1) + c$
Sono abbastanza sicuro di questo procedimento anche perché ho trovato riscontri positivi su internet però ho come risultato questo: $log|cosx|+1/(2cos^2x) +c$
Mi chiedevo quindi se fosse un errore del professore o se sono soluzioni equivalenti. E se sì, come posso ricavare questa soluzione alternativa?
Grazie mille!
$int y^3/(1+y^2) dy$, ho fatto la divisione tra polinomi e ho trovato $int y dy - int y/(y^2+1) dy$ da cui ancora
$y^2/2 - 1/2log|y^2+1| +c = (tan^2x)/2-log(tan^2x+1) + c$
Sono abbastanza sicuro di questo procedimento anche perché ho trovato riscontri positivi su internet però ho come risultato questo: $log|cosx|+1/(2cos^2x) +c$
Mi chiedevo quindi se fosse un errore del professore o se sono soluzioni equivalenti. E se sì, come posso ricavare questa soluzione alternativa?
Grazie mille!
Risposte
$tan x = sin x / cos x$
e cosi' $tan ^2 x + 1 = (sin x / cos x) ^ 2 + 1 = (cos^2 x + sin ^2 x)/(cos^2 x) = 1/cos^2 x$
Quindi $- 1/2 log (tan^2 x +1) = -1/2 log (1/cos^2 x) = log (|cos x|)$, usando le proprieta' dei logaritmi.
Nella tua soluzione hai tralasciato un $1/2$
Per l'altro termine vale la stessa cosa, se dalla costante $c$ "stacchi" un $1/2$ ottieni
$1/2 tan^2 x + 1/2 +c = 1/2 (tan^2 x + 1) = 1/(2 cos^2 x)$.
e cosi' $tan ^2 x + 1 = (sin x / cos x) ^ 2 + 1 = (cos^2 x + sin ^2 x)/(cos^2 x) = 1/cos^2 x$
Quindi $- 1/2 log (tan^2 x +1) = -1/2 log (1/cos^2 x) = log (|cos x|)$, usando le proprieta' dei logaritmi.
Nella tua soluzione hai tralasciato un $1/2$
Per l'altro termine vale la stessa cosa, se dalla costante $c$ "stacchi" un $1/2$ ottieni
$1/2 tan^2 x + 1/2 +c = 1/2 (tan^2 x + 1) = 1/(2 cos^2 x)$.
Giusto! Mi ero perso un paio di proprietà sui logaritmi ahah ti ringrazio!
Il $1/2$ mancato è stato solo un errore di battitura.
In linea di massima quindi trasformerei ciò che ho trovato in quello con i coseni, giusto per dare un senso "estetico" e compattezza al risultato?
Il $1/2$ mancato è stato solo un errore di battitura.
In linea di massima quindi trasformerei ciò che ho trovato in quello con i coseni, giusto per dare un senso "estetico" e compattezza al risultato?
Se sei insicuro delle primitive da te trovate, derivale. Se esce fuori la funzione integranda è sicuramente corretta.
@pilloeffe ho già risolto l'integrale, ero un po' confuso sul risultato, nonostante sapevo fosse corretta la risoluzione. Grazie lo stesso! Poi onestamente ho un po' di difficoltà a cercare nei thread. Si può scrivere in latex nella barra di ricerca? perché altrimenti trovare esercizi diventa complicato (ammetto di non averci provato a sto giro)
"paolo1712":
Poi onestamente ho un po' di difficoltà a cercare nei thread. [...] (ammetto di non averci provato a sto giro)
Io l'ho trovato cercando le parole chiave "Integrale tangente" e poi cercando ulteriormente "pilloeffe" fra i risultati ottenuti dalla ricerca (mi ricordavo però di averlo già visto e risolto in precedenza...
).
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