Forma differenziale "elemento di superficie" su una superficie $S\subset\mathbb{R}^3$

[Silente]

Litigando con le forme differenziali per tentare di capirle, mi sono imbattutto nel concetto di volume element. Nel caso di una superficie bidimensionale $S$ dentro $\mathbb{R}^3$ il volume element diventa da definizione quella forma differenziale $\omega(\mathbf{r})(\mathbf{\xi}_1,\mathbf{\xi}_2)$ che assume il valore 1 ogni qual volta essa operi su una coppia di vettori $\mathbf{\xi}_1,\mathbf{\xi}_2$ ortonormali (vettori dello spazio tangente a $S$ nel generico punto $\mathbf{r}\in S$).
Ora, quello che voglio fare io, è trovare l'espressione esplicita di $\omega(\mathbf{r})(\mathbf{\xi}_1,\mathbf{\xi}_2)$ nelle coordinate $\mathbf{t}=(t^1,t^2)$ di una fissata carta $\phi:(0,1)\times (0,1)\to S$. Per fare ciò, ho provato a scrivere:


\(\displaystyle \omega(\mathbf{r})(\mathbf{\xi}_1,\mathbf{\xi}_2)=\omega(\phi(\mathbf{t}))(\phi'(\mathbf{t})\mathbf{\tau}_1,\phi'(\mathbf{t})\mathbf{\tau}_2)=\omega(\phi(\mathbf{t}))\left(\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^1}
\end{bmatrix}\mathbf{\tau}_1^1+\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^2}
\end{bmatrix}\mathbf{\tau}_1^2,\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^1}
\end{bmatrix}\mathbf{\tau}_2^1+\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^2}
\end{bmatrix}\mathbf{\tau}_2^2\right) =\omega(\phi(\mathbf{t}))\left( \begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^1}
\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^2}
\end{bmatrix} \right)\begin{vmatrix}
\tau_1^1 & \tau_2^1\\
\tau_1^2 & \tau_2^2
\end{vmatrix}=\omega(\phi(\mathbf{t}))\left( \begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^1}
\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^2}
\end{bmatrix} \right)\mathrm{d}t^1\wedge\mathrm{d}t^2 \)


A questo punto, se le due colonne della Jacobiana presenti nell'ultimo membro di sopra fossero almeno ortogonali, potrei sicuramente continuare scrivendo:

\(\displaystyle ...=\underbrace{\omega(\phi(\mathbf{t}))\left( \frac{\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^1}
\end{bmatrix}}{ \left \| \begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^1}
\end{bmatrix} \right \|} ,\frac{\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^2}
\end{bmatrix}}{\left \| \begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^2}
\end{bmatrix} \right\| } \right)}_{= 1}\cdot \left \| \begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^1}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^1}
\end{bmatrix} \right \|\cdot \left \| \begin{bmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^2}{\partial t^2}
\\
\frac{\partial x^3}{\partial t^2}
\end{bmatrix} \right\| \mathrm{d}t^1\wedge\mathrm{d}t^2 \)


La domanda è: come si fa quando le colonne della Jacobiana non sono nemmeno ortogonali? Immagino che debba sicuramente utilizzare il determinante per conoscere l'area spazzata dai due vettori non ortogonali, ma mi inceppo perché la matrice non sarebbe quadrata.

Grazie in anticipo.

[megas_archon]

Credo che l'elemento di volume sia semplicemente il pullback del determinante mediante la carta locale. O probabilmente si può proprio scrivere come sezione del fibrato esterno. Ciascuna di queste due caratterizzazioni lo determina univocamente..

[Silente]

Ma il determinante in R^3 come ‘calcolatore’ di volume, opera su terne di vettori. In questo la mia forma è una 2-forma, non una 3-forma. Prima ancora del pullback esiste il problema, che sarebbe equivalentemente il punto in cui mi inceppo io alla fine nei miei passaggi di sopra.

Grazie per la tua risposta.

[megas_archon]

Ma no, io sto pensando a questa cosa: prendi una applicazione liscia tra varietà della stessa dimensione, diciamo $d$, \(f : M\to N\), essa induce una applicazione \(\Omega^d N\to\Omega^d M\).

Se ora $f$ è una carta di una varietà $X$, definita su un certo dominio \(M\subseteq X\), resta indotta una mappa tra le forme differenziali su \(\mathbb R^d\) (per te $d=2$, quindi mi metto in questa situazione) e le forme differenziali su $M$.

L'"elemento di volume" \(\omega_\text{vol}\) di $M$ ora è precisamente \(f^*(\det)\) (c'è un senso ovvio in un \(\det\) è un elemento di \(\Omega^d(\mathbb R^d)\) -identificato con il duale di \(\mathbb R\). E se scrivi cos'è \(f^*\det\) ti deve venire proprio il determinante dello jacobiano della carta locale: la pagina di wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_element è piuttosto chiara a espandere quel che ho appena detto, cosa non capisci?

[Silente]

"megas_archon":cosa non capisci?

Non capivo come trattare il caso di matrice jacobiana non quadrata. Ora l'ho capito: il problema si risolve usando la matrice di Gram.

Grazie.