Analisi matematica di base
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Ciao, amici! Ho trovato questa espressione di cui non saprei come convincermi:
\[\frac{\partial}{\partial c_i} \int_{0}^{1} \left(\sum_{i=1}^{n} c_i x^{i-1} -f(x)\right)^2 \text{d}x= 2\int_{0}^{1}\left(\sum_{j=1}^{n}c_j x^{j-1}-f(x)\right)x^{i-1} \text{d}x\]
Ho l'impressione che si sia applicata una proprietà $\frac{\partial}{\partial y} \int_{a}^{b} g(x,y) \text{d}x= \int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y} g(x,y) \text{d}x$ che però non conoscevo e non so come giustificare (nei casi in cui possa essere giustificata)... Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi a capirci ...
Ciao a tutti, ho problemi nella risoluzione del seguente integrale:
$int_(0)^(+oo) (xsinx)/ (x^2+1)^2$
Io ho pensato di procedere nel seguente modo:
$int_(0)^(+oo) (xsinx)/ (x^2+1)^2=1/2 int_(-oo)^(+oo) (xsinx)/ (x^2+1)^2=Im(int_(-oo)^(+oo) (xe^(ix))/ (x^2+1)^2)$
Chiamo $I=int_(-oo)^(+oo)(xe^(ix))/ (x^2+1)^2dx $ e considero l'estensione complessa della funzione integranda.
Considero la curva chiusa $ gamma_R=[-R,R]+C_R^+ $ dove $C_R^+$ è la semicirconferenza superiore che inizia in R e finisce in
-R. Si ha che:
$I=lim_(R -> oo) (ze^(iz))/ (z^2+1)^2 =2pi i sum_(w in Z_Q^+) Res(f,w) $ dove con $Z_Q^+$ intendo l'insieme degli zeri del denominatore con parte immaginaria ...
Ciao a tutti.
Ho un integrale di cui discutere la convergenza al variare del parametro $alpha$.
$\int_{1}^{+oo} arctan(x)(1/x-sin(1/x))^alpha dx$
Purtroppo l'appello dell'esame è senza soluzioni e nè WolframAlpha e né Mathematica riescono a calcolarmi l'integrale con un valore di $alpha!=0$.
Io ho proceduto in questo maniera.
Studio la funzione $h(x)=arctan(x)(1/x-sin(1/x))^alpha$ in un intorno di 0, $ ]0,epsilon[ $ .
Calcolo $lim_{x to 0} h(x) = pi/4(1-sin(1))^alpha$ e quindi in un intorno di 0 la funzione è integrabile.
$h(x) ~~_{+oo} 1/x^(3alpha)$ che ...
ciao,
mi date una mano con questo integrale?
$ int int_(D)^() (dxdy)/(4+x^2+y^2) $
nel dominio
$ D -= {x^2+y^2>=2y, x^2+y^2<=4y} $
ho trovato che il dominio è l'area compresa tra la circonferenza più grande e quella più piccola interna.
quindi volevo calcolare l'integrale nella circonferenza grande e sottrarci l'integrale calcolato nelle circonferenza piccola.
pensavo che passando alle cordinate polari quindi mi si semplificasse quel $ x^2+y^2 $ nell'integrale ma non avevo tenuto conto che le circonferenze non sono ...
Primo esercizio sulle funzioni implicite e non ho capito un tubo per come lo risolve il libro....
Testo:
Considerata l'equazione
$F(x,y) = (x^2 /4) + y^2 - 1 = 0$
si applichi il teorema del Dini e si determini la funzione implicita da essa definita, ove possibile.
faccio il disegno => è un'ellisse
$F_y = 2 y$
voglio trovare $y'$
derivo rispetto ad $x$ e viene:
$2 x/4 + 2y y' = 0$ => $y' = - x/(4y)$
che è un'equazione differenziale del primo ordine
mi dite come il ...
determinare l'area del dominio piano delimitato dalla curva $\gamma (t) = (t(1-t),t(t^2-1)) $ ; $ 0<=t<=1 $
come posso calcolare questa area? ho provato a fare un disegno e il dominio è formato da due parabole con concavtà opposte che si intersecano sull'asse delle x. quindi si potrebbe calcolare l'intera area come la somma di due aree. ma il punto è : cosa devo integrare? ho trovato questa formula sul libro : area(D)= integrale doppio su dominio D di dxdy
ciao ragazzi, ho questa funzione di cui devo studiare gli estremi : $f(x,y) = x^2 log(1+y) + x^2*y^2 $ . ho trovato come unico punto critico il punto P(0,0), però ma matrice hessiana da determinante pari a zero ,essendo tutte le derivate secondo pari a zero in quel punto. come posso fare per determinare se il punto è di massimo,minimo o di sella?grazie
Ciao a tutti.
Ho questo equazione diff. di secondo ordine
$y''+y'=1/(1+e^x)$
Calcolo l'eq. caratteristica e trovo che si annulla per $alpha=0, alpha=-1$
Allora considero una soluzione generale dell'omogenea e poi applico il metodo della variazione delle costanti.
$ y_1=e^0 $
$y_2=e^-x$
$y=c_1+c_2*e^-x$
$ c'_1*y_1+c'_2*y_2=0 $ ossia $ c'_1+c'_2*e^-x =0$
$c'_1*y_1+c'_2*y'_2=1/(1+e^x)$ ossia $-c'_2*e^-x = 1/(1+e^x)$
Risolvendo però questo sistema
${ ( c'_1+c'_2*e^-x=0 ),( -c'_2*e^-x = 1/(1+e^x) ):}$
ottengo una soluzione
$y=x-log(e^x+1)+k_2+(k_1-log(e^x+1))*e^-x$ che ...
Stabilire il carattere della seguente serie:
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\ frac{(n+1)}{(1 + 2/n)^(n^2)}$
${x'(t)=1-e^(x^2 -1) , x(0)= \alpha } $
ragazzi, conosco le regole del forum, però in questo caso non so proprio da dove partire. mi dareste un input?
Dato il problema di Cauchy :
$x(t)-y''(t)+y(t)=(e^(-t))-1$
$x'(t)+y'(t)-y(t)=-3e^(-t) +t$
$x(0)=0 , y(0)=1 , y'(0)=-2$
Ho provato a risolverlo in questo modo , non capisco dove sbaglio :
$X-(s^2 Y - sy(0) -y'(0))+Y=1/(s+1) - 1/s$
$sX-x(0)+sY-y(0)-Y=-3/(s+1)+1/s^2$
$X-s^2 Y + s -2+Y=1/(s+1) - 1/s$
$sX+sY-1-Y=-3/(s+1)+1/s^2$
$X+Y(-s^2 +1)=1/(s+1) + 1/s - s$
$sX+Y(s-1)=-3/(s+1)+1/s^2 + 1/s$
$( ( 1 , -s^2 +1 ),( s , s-1 ) )( ( X ),( Y ) )=( ( (1/(s+1))+(1/s)-s ),( (-3/(s+1))+(1/s^2)+(1/s) ) )$
Calcolo la Y :
$(| ( 1, ((1/(s+1))+(1/s)-s)),( s , ((-3/(s+1))+(1/s^2)+(1/s)) ) |)/| ( 1,-(s^2 - 1)),( s , s-1 ) | = ((-3/(s+1))+(1/(s^2))+(1/s)-(s/(s+1))-1+s^2)/((s-1)+s(s^2 -1))$
Arrivato qui mi fermo perchè credo che il risultato sia sbagliato . . . ho antitrasformato il tutto con Wolfram ,il quale mi da come risultato :
$-1+e^(-t)-t+(e^(-t/2) (sqrt(3) cos((sqrt(3) t)/2)+5 sin((sqrt(3) t)/2)))/sqrt(3)$
il vero ...
Salve ragazzi, sono nuovo e vi scrivo per cercare di capire qualcosa in più a riguardo del metodo dei nuclei iterati.
Oggi mi sono accinto a sostenere l'ultimo scritto della mia carriera universitaria (metodi matematici II) ma non avendo mai risolto qualcosa del genere sono rimasto impantanato e non ho saputo far nulla.
Si trattava di due esercizi: un problema di Sturm Liouville e uno sui nuclei iterati, per l'appunto.
Ve li posto entrambi così da sperare di trovare un ragguaglio.
1) ...
Buona sera a tutti.
vi scrivo un'integrale improprio che non riesco a risolvere in quanto non riesco a trovare il modo di procedere.
Ecco qua:
$\int_0^\(+oo) sqrt(1-e^(-4x))/(Senh(2x))dx$
Attendo aiuto...
Grazie
Devo fare un cambiamento di variabile per trasformare gli estremi di integrazioni da [0,2] a [0,1] in modo tale da poter risolvere l'integrale con le funzioni beta e gamma.
Non riesco a fare in modo corretto tale cambiamento di variabile, qualcuno può aiutarmi?
$ int_(0)^(2) x ** root(3)((8-x^3)) dx $
Ciao ragazzi mi dareste una mano su questo eserczio? Non mi serve la soluzione basta che mi indiriziate verso la giusta via
$\{(y'' - (y')/(4+x)=x),(y(0)=2),(y'(0)=0):}$
Personalmente ho pensato ad un'equazione lineare del II ordine a coefficienti costanti, oppure ad un'equazione di Eulero, facendo il minimo comune multiplo ho che il coefficiente di $y''$ è $4+x$ e la cosa mi ha mandato un po' in crisi. Grazie a tutti!
Domanda/e in generale...
Se io voglio disegnare una funzione del tipo:
$F(x) = \int_(alpha(x))^(beta(x)) f(t)dt$
Per trovare il dominio della F(x) vado a vedere dove è definita la f(t) rispetto ad $alpha(x)$ e $beta(x)$... ed è semplice anche per via grafica se $alpha(x)$ e $beta(x)$ non sono impossibili!
A questo punto per disegnarmela vado a vedere i limiti agli estremi del campo di definizione e quindi mi ritrovo con degli integrali con agli estremi due numeri o al massimo ...
Ciao, avrei un dubbio riguardo un dominio normale per un integrale doppio:
$ int _(D) (y^2 - x^2)(e^(x+y)) $
con $D= { (x,y) in RR^2 : |y|<=x<= 2-|y| }$
questo è il disegno che ho fatto, credo sia fatto bene: http://i47.tinypic.com/2088y6c.jpg
ora il dominio come lo imposto?? se lo faccio normale rispetto ad $x$, sarà $0<=x<=2$ e la $y$ invece come la posso decidere? sapete aiutarmi?? Grazie
MOD: ho pensato, mettendo a sistema le due rette $y=x$ e $y=2-x$ dovrei trovare il loro punto ...
Probabilmente per la stanchezza accumulata in questi giorni di studio matto e disperatissimo, non riesco a scorgere un errore, evidentemente banale, nascosto nel procedimento che utilizzo per risolvere il seguente integrale. Il dominio di integrazione è T, il quadrilatero delimitato dai punti $(\pi/2,\pi/2) (\pi,\pi) (\pi/2,\pi) (\pi, 2\pi)$, perciò ho ritenuto opportuno scrivere come dominio normale rispetto a $x$ : $\{(x,y):\pi/2\leqy\leq2\pi, y\leqx\leqy/2\}$
$\int\int\siny /ydx dy$
Svolgendo i calcoli ottengo:
...
Ciao mi trovo a dover risolvere queste integrale:
$ int (2x)/theta e^(-x^2/theta) dx $
ovviamente la soluzione sul libro dà per scontato che sappia fare i passaggi. Ad ogni modo sono sempre in difficoltà quando vedo $ e^(funct) $. Io ho provato inizialmente con la sostituzione di $ y=x^2/theta $ ma mi peggiorva, dopodichè ho provato per parti ma anche qui mi sono perso.
Qualcuno sa spiegarmi il ragionamento da fare nell'affrontarlo?
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