Altro integrale col metodo dei residui
Ciao a tutti, ho problemi nella risoluzione del seguente integrale:
$int_(0)^(+oo) (xsinx)/ (x^2+1)^2$
Io ho pensato di procedere nel seguente modo:
$int_(0)^(+oo) (xsinx)/ (x^2+1)^2=1/2 int_(-oo)^(+oo) (xsinx)/ (x^2+1)^2=Im(int_(-oo)^(+oo) (xe^(ix))/ (x^2+1)^2)$
Chiamo $I=int_(-oo)^(+oo)(xe^(ix))/ (x^2+1)^2dx $ e considero l'estensione complessa della funzione integranda.
Considero la curva chiusa $ gamma_R=[-R,R]+C_R^+ $ dove $C_R^+$ è la semicirconferenza superiore che inizia in R e finisce in
-R. Si ha che:
$I=lim_(R -> oo) (ze^(iz))/ (z^2+1)^2 =2pi i sum_(w in Z_Q^+) Res(f,w) $ dove con $Z_Q^+$ intendo l'insieme degli zeri del denominatore con parte immaginaria positiva. Questo vale a patto di verificare che $lim_(R -> oo) int_(C_R^+)(ze^(iz))/ (z^2+1)^2)dz=0$.
Calcolo $I$.
La funzione integranda ha due poli doppi $pm i$ e $Z_Q^+={i}$. Calcolo il relativo residuo :
$Res(f,i)=lim_(z->i) d/(dz) [(z-i)^2 e^(iz)/((z+i)^2(z-i)^2)]=e^(-1)/(2i)$
Quindi ottengo $I=2pi i e^(-1)/(2i)=pi/e $ ora dovrei prendere la parte immaginaria e dividere per $1/2$ per ottenere il risultato ma c'è qualcosa che non va perché il risultato dovrebbe venire $ pi/(4e) $....
procedo verificando che $lim_(R -> oo) int_(C_R^+)(ze^(iz))/ (z^2+1)^2dz=0$. Parametrizzo $C_R^+$ con $phi(t)=Re^(it)$.
$|int_(C_R^+)(ze^(iz))/ (z^2+1)^2|=|int_(0)^(pi)exp(i(Rcost+Rsint))/(1+R^2e^(2it))^2 Rie^(it)dt|$ $<=int_(0)^(pi)|exp(i(Rcost+Rsint))/(1+R^2e^(2it))^2 Rie^(it)|dt=
la mia perplessità è che in un esercizio svolto di un integrale analogo ho trovato che il denominatore della funzione integranda lo maggioravano con $(R-1)$ invece che $(R^2-1)$ e non capisco perché...
$int_(0)^(+oo) (xsinx)/ (x^2+1)^2$
Io ho pensato di procedere nel seguente modo:
$int_(0)^(+oo) (xsinx)/ (x^2+1)^2=1/2 int_(-oo)^(+oo) (xsinx)/ (x^2+1)^2=Im(int_(-oo)^(+oo) (xe^(ix))/ (x^2+1)^2)$
Chiamo $I=int_(-oo)^(+oo)(xe^(ix))/ (x^2+1)^2dx $ e considero l'estensione complessa della funzione integranda.
Considero la curva chiusa $ gamma_R=[-R,R]+C_R^+ $ dove $C_R^+$ è la semicirconferenza superiore che inizia in R e finisce in
-R. Si ha che:
$I=lim_(R -> oo) (ze^(iz))/ (z^2+1)^2 =2pi i sum_(w in Z_Q^+) Res(f,w) $ dove con $Z_Q^+$ intendo l'insieme degli zeri del denominatore con parte immaginaria positiva. Questo vale a patto di verificare che $lim_(R -> oo) int_(C_R^+)(ze^(iz))/ (z^2+1)^2)dz=0$.
Calcolo $I$.
La funzione integranda ha due poli doppi $pm i$ e $Z_Q^+={i}$. Calcolo il relativo residuo :
$Res(f,i)=lim_(z->i) d/(dz) [(z-i)^2 e^(iz)/((z+i)^2(z-i)^2)]=e^(-1)/(2i)$
Quindi ottengo $I=2pi i e^(-1)/(2i)=pi/e $ ora dovrei prendere la parte immaginaria e dividere per $1/2$ per ottenere il risultato ma c'è qualcosa che non va perché il risultato dovrebbe venire $ pi/(4e) $....
procedo verificando che $lim_(R -> oo) int_(C_R^+)(ze^(iz))/ (z^2+1)^2dz=0$. Parametrizzo $C_R^+$ con $phi(t)=Re^(it)$.
$|int_(C_R^+)(ze^(iz))/ (z^2+1)^2|=|int_(0)^(pi)exp(i(Rcost+Rsint))/(1+R^2e^(2it))^2 Rie^(it)dt|$ $<=int_(0)^(pi)|exp(i(Rcost+Rsint))/(1+R^2e^(2it))^2 Rie^(it)|dt=
la mia perplessità è che in un esercizio svolto di un integrale analogo ho trovato che il denominatore della funzione integranda lo maggioravano con $(R-1)$ invece che $(R^2-1)$ e non capisco perché...
Risposte
a me viene $ (1/2)(pi/(4e) + e pi/4)$
comunque $sinz =1/2 i e^(-i z)-1/2 i e^(i z)$
"ummo89":
a me viene $ (1/2)(pi/(4e) + e pi/4)$
ancora un risultato diverso
forse il problema è qualche errore nel calcolo del residuo anche se non capisco dove..."ummo89":
comunque $sinz =1/2 i e^(-i z)-1/2 i e^(i z)$
Si anche ma è la stessa cosa, come dici tu fai il calcolo diretto, come faccio io poi prendo solo la parte immaginaria del risultato.
Io semplificherei un pò cosi:
Integrazione per parti:
\( \displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\frac{xsin(x)}{\left(x^{2}+1\right)}dx=\left[-\frac{sin(x)}{2(x^{2}+1)}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\frac{cos(x)}{2(x^{2}+1)}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{cos(x)}{2(x^{2}+1)}dx\)
Applico il teorema dei residui e il lemma di Jordan alla semicirconferenza superiore alla funzione
\(\displaystyle f(z)=\frac{e^{iz}}{2(z^2+1)}\)
La semicirconferenza contiene il polo\( z=i\) e il residuo vale \( \frac{1}{8ie}\)
etc.....
Integrazione per parti:
\( \displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\frac{xsin(x)}{\left(x^{2}+1\right)}dx=\left[-\frac{sin(x)}{2(x^{2}+1)}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\frac{cos(x)}{2(x^{2}+1)}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{cos(x)}{2(x^{2}+1)}dx\)
Applico il teorema dei residui e il lemma di Jordan alla semicirconferenza superiore alla funzione
\(\displaystyle f(z)=\frac{e^{iz}}{2(z^2+1)}\)
La semicirconferenza contiene il polo\( z=i\) e il residuo vale \( \frac{1}{8ie}\)
etc.....
eh si, così il valore dell'integrale torna 
per caso sai dirmi se è giusta la seconda parte e soprattutto per quanto riguarda il denominatore?
per caso sai dirmi se è giusta la seconda parte e soprattutto per quanto riguarda il denominatore?
Mi sono accorta che anche seguendo il mio metodo iniziale sarebbe venuto...peccato che avevo dimenticato una $z$ al numeratore nel calcolo del residuo ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
ora rimane solo la questione della maggiorazione che ancora non ho capito bene...
ora rimane solo la questione della maggiorazione che ancora non ho capito bene...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo