Numeri cardinali
Ciao a tutti
sto cercando di calcolare il seguente valore $ \aleph_{\omega}^{\aleph_{0}} $
Una stima dall'alto la trovo maggiorando così (uso l'ipotesi generalizzata del continuo)
$$
\aleph_{\omega}^{\aleph_{0}} <=\aleph_{\omega+1}^{\aleph_{0}}=(2^{\aleph_\omega})^{\aleph_{0}}=...=\aleph_{\omega+1}
$$
Dal basso invece il mio testo fa questa minorazione $(****)$
$$
\aleph_{\omega}^{\aleph_{0}} >= \prod_ {i\in \omega} \aleph_{i}
$$
da cui per K\''onig alla fine segue che il tutto è esattamente uguale a $\aleph_{\omega+1}$.
Qualcuno può motivarmi questo passaggio $(****)$?
sto cercando di calcolare il seguente valore $ \aleph_{\omega}^{\aleph_{0}} $
Una stima dall'alto la trovo maggiorando così (uso l'ipotesi generalizzata del continuo)
$$
\aleph_{\omega}^{\aleph_{0}} <=\aleph_{\omega+1}^{\aleph_{0}}=(2^{\aleph_\omega})^{\aleph_{0}}=...=\aleph_{\omega+1}
$$
Dal basso invece il mio testo fa questa minorazione $(****)$
$$
\aleph_{\omega}^{\aleph_{0}} >= \prod_ {i\in \omega} \aleph_{i}
$$
da cui per K\''onig alla fine segue che il tutto è esattamente uguale a $\aleph_{\omega+1}$.
Qualcuno può motivarmi questo passaggio $(****)$?
Risposte
Qual è il passaggio che non capisci, quello che hai scritto? Perché secondo me lo puoi pensare così: $\aleph_\omega>\aleph_n AA n\inNN$ quindi $\aleph_\omega^(\aleph_0)=\prod_{i\in\omega}\aleph_\omega>=\prod_{i\in\omega}\aleph_i$.
Se invece non capisci perché $\prod_{i\in\omega}\aleph_i=\aleph_(\omega+1)$ non ti posso aiutare perché non lo capisco nemmeno io.
Se invece non capisci perché $\prod_{i\in\omega}\aleph_i=\aleph_(\omega+1)$ non ti posso aiutare perché non lo capisco nemmeno io.
Si grazie!!!! Ci stavo pensando proprio in questo momento e sono giunto alla stessa conclusione! 
Per il fatto che $ \prod_{i \in \omega} \aleph_{i}=\aleph_{\omega+1} $ penso che si possa dire solamente accettando l'ipotesi generalizzata del continuo perché calcolando $\aleph_{\omega}^{\aleph_0}$ si trova quindi
$
\aleph_{\omega}=\sum_i \aleph_{i}< \prod_{i \in \omega} \aleph_{i} <=\aleph_{\omega}^{\aleph_0}<=\aleph_{\omega+1}
$
brutalmente non essendoci altre cardinalità in mezzo a $\aleph_{\omega}$ e $\aleph_{\omega+1}$ si conclude che le disuguaglianze sopra sono tutte uguaglianze, sempre accettando l'hp generalizzata del continuo
Per il fatto che $ \prod_{i \in \omega} \aleph_{i}=\aleph_{\omega+1} $ penso che si possa dire solamente accettando l'ipotesi generalizzata del continuo perché calcolando $\aleph_{\omega}^{\aleph_0}$ si trova quindi
$
\aleph_{\omega}=\sum_i \aleph_{i}< \prod_{i \in \omega} \aleph_{i} <=\aleph_{\omega}^{\aleph_0}<=\aleph_{\omega+1}
$
brutalmente non essendoci altre cardinalità in mezzo a $\aleph_{\omega}$ e $\aleph_{\omega+1}$ si conclude che le disuguaglianze sopra sono tutte uguaglianze, sempre accettando l'hp generalizzata del continuo
Ma quella sommaa è per $i\in\omega$?
Perché vale $\sum_i \aleph_{i}< \prod_{i \in \omega} \aleph_{i}$?
Perché vale $\sum_i \aleph_{i}< \prod_{i \in \omega} \aleph_{i}$?
Si la somma è per $\i \in \omega$... è il Teorema di König, lo trovi qua per esempio (pag 38)
http://people.dm.unipi.it/berardu/Didat ... nsiemi.pdf
http://people.dm.unipi.it/berardu/Didat ... nsiemi.pdf
Grazie.
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