Esercizi di logica

[frank034]

Ciao a tutti, vorrei avere una conferma sulla corretta soluzione dei seguenti esercizi di logica. Grazie mille


1)Stabilire se questa proposizione è vera o falsa e scriverne la negazione.

$ AA x in RR $ $ EE y in RR $ $ | $ $ x+y-3=0 $

Svolgimento:
$ y=3-x $ dunque è VERA

Negazione: $ EE x in RR $ $ | $ $ AA y in RR $ $ x+y-3 != 0 $
oppure... $ EEx in RR $ $ | $ $ EE y in RR $ $ x+y-3 = 0 $



2) Stabilire se questa proposizione è vera o falsa e scriverne la negazione.

$ AAs in NN | AAb in ZZ EE q in RR $ con $ b+s-q=0 $

Svolgimento:
$ s=q-b $ dunque è vera

Negazione: \( \nexists\ \) $ s in NN | AA b in ZZ EEqinRR $ con $ b+s-q=0 $
oppure.. $ AA s in NN EE in ZZ | AA q in RR $ con $ b+s-q !=0 $

[marco2132k]

"frank03":1)Stabilire se questa proposizione è vera o falsa e scriverne la negazione.

non capisco che cosa intendi con "oppure": La negaizone \(\neg\left((\forall x)\mathcal{A}x\right)\) di \((\forall x)\mathcal{A}x\) è \((\exists x)\neg\mathcal{A}x\) e la negazione \(\neg\left((\exists x)\mathcal{B}x\right)\) di \((\exists x)\mathcal{B}x\) è \((\forall x)\neg\mathcal{B}x\). Ora, nel tuo caso hai \((\forall x) x \in \mathbb{R} \implies \left( (\exists y)y \in \mathbb{R} \land x+y-3=0 \right)\), che negando è:
\[
\begin{split}
\neg \left\{ (\forall x)x\in\mathbb{R} \implies \left[ (\exists y)y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \right\} \\
\Leftrightarrow (\exists x)\neg\left\{ x\in\mathbb{R} \implies \left[ (\exists y)y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \right\} \\
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land \neg\left[ (\exists y)y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \\
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land (\forall y)\neg\left[ y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \\
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land (\forall y)y\notin\mathbb{R} \lor x+y-3\neq 0 \\
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land (\forall y)y\in\mathbb{R} \implies x+y-3\neq 0
\end{split}
\]
che passaggi hai fatto per arrivare al secondo risultato?

"frank03":2) Stabilire se questa proposizione è vera o falsa e scriverne la negazione.

Per la negazione, i passaggi sono praticamente identici di quanto sopra. Non so in che contesto tu stia avendo a che fare con i \(\forall\) e \(\exists\), con la quantificazione cioè, ma attento che sebbene \( (\forall s)s\in\mathbb{N} \implies \left[ (\forall b)b\in\mathbb{Z} \implies (\exists q)q\in\mathbb{R} \land b+s-q=0 \right] \) sia identica a \( (\forall s)s\in\mathbb{N} \implies \left[ (\forall b)b\in\mathbb{Z} \implies (\exists q)q\in\mathbb{R} \land s=q-b \right] \), è molto più semplice dimostrare che ogni numero reale più essere scritto come somma di un intero relativo con un naturale, rispetto che mostrare che ogni numero naturale può essere scritto come differenza tra un reale e un razionale: \(\sqrt{2}-(-5) \notin \mathbb{N}\), ad esempio. Parafrasando, cerca di tenere a mente il significato di quelle formule, oltre ai passaggi più o meno formali (non conosco il contesto in cui lavori, ma immagino che siano esercizi volti ad impratichirsi con il linguaggio della logica elementare naive, piuttosto che un corso di logica formale)

[frank034]

"marco2132k":\[
\begin{split}
\neg \left\{ (\forall x)x\in\mathbb{R} \implies \left[ (\exists y)y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \right\} \\
\Leftrightarrow (\exists x)\neg\left\{ x\in\mathbb{R} \implies \left[ (\exists y)y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \right\} \\
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land \neg\left[ (\exists y)y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \\
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land (\forall y)\neg\left[ y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \\
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land (\forall y)y\notin\mathbb{R} \lor x+y-3\neq 0 \\
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land (\forall y)y\in\mathbb{R} \implies x+y-3\neq 0
\end{split}
\]

Grazie mille per l'aiuto non ho capito una cosa però.. perché
\begin{split}
\Leftrightarrow (\exists x)\neg\left\{ x\in\mathbb{R} \implies \left[ (\exists y)y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \right\} \\
\end{split}


diventa: \begin{split}
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land \neg\left[ (\exists y)y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \\\end{split}
e quindi $ x in RR $


Mentre: quando viene negata
\begin{split}
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land (\forall y)\neg\left[ y\in\mathbb{R} \land x+y-3=0 \right] \\\end{split}

diventa: \begin{split}
\Leftrightarrow (\exists x)x\in\mathbb{R} \land (\forall y)y\notin\mathbb{R} \lor x+y-3\neq 0 \\\end{split}

[marco2132k]

Per questo motivo.

In logica "naive", informalmente, l'implicazione \(\mathcal{A} \implies \mathcal{B}\) è falsa in un unico caso, cioè quando l'"ipotesi" \(\mathcal{A}\) è falso, e la "tesi" \(\mathcal{B}\) è vero. Quindi tu scrivi \(\mathcal{A} \implies \mathcal{B}\) al posto di \(\neg (\mathcal{A} \land \neg\mathcal{B})\). Prova ad usare De Morgan nell'ultima formula che ho scritto.

Ah, un'altra cosa sulla formula \((\forall x)x\in A\implies\mathcal{A}x\), dove \(A\) è un insieme, \(\mathcal{A}\) un predicato nella variabile \(x\): generalmente, nel mondo reale, lo abbrevi come \(\forall x \in A: \mathcal{A}x\); idem per lui "\(\exists\)".

[marco2132k]

Voglio aggiungere una cosa, visto che siamo nella sezione di algebra:

"marco2132k":è molto più semplice dimostrare che ogni numero reale più essere scritto come somma di un intero relativo con un naturale, rispetto che mostrare che ogni numero naturale può essere scritto come differenza tra un reale e un razionale

Dimostrare che \((\forall s)s\in\mathbb{N} \implies \left[ (\forall b)b\in\mathbb{Z} \implies (\exists q)q\in\mathbb{R} \land b+s-q=0 \right]\) regge, ossia dimostrare che \(\forall\text{blablabla}\, q=b+s\) regge, equivale a dimostrare che in qualche modo è \(\mathbb{N}\subset\mathbb{R}\) e in qualche altro modo \(\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\), il che non è scontato ($10$ è un numero reale, ma il $10\in\mathbb{N}$ è lo stesso $10$ di $\mathbb{R}$)? Accertatoti di questo, la tesi segue dal fatto che \((\mathbb{R},+)\) è almeno un magma.