Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Buondì, non riesco a capire perché la domanda: "Siano R ed S relazioni di equivalenza su un insieme finito non vuoto, con rispettivamente n ed m classi di equivalenza, quali delle seguenti proposizioni è vera?" ha la seguente risposta: Risposta:" \( R\cap S \) è sempre una relazione di equivalenza con al più n*m classi di equivalenza" Sò che l'intersezione, se le condizioni sono rispettate, preserva determinate proprietà dei due insiemi intersecati ( Se esiste la chiusura rispetto a P per ogni ...

Ciao Ragazzi! Vorrei sapere qualche dritta su come procedere con questo esercizio : Sia $S_5$ il gruppo delle permutazioni su 5 oggetti. a) Siano f=(1,2,3,4) e g=(2,3,4,5) determinare il prodotto $f*g$ ed il prodotto $g*f$ b) Il gruppo $S_5$ possiede sottogruppi di ordine 7? per quanto riguarda nel campo a) bisogna effettuare un prodotto cartesiano? per quanto riguarda invece il campo b) non riesco a trovare nessun riferimento nel mio ...

Salve a tutti, Durante l'orale universitario di un mio amico gli hanno fatto la seguente domanda: "In un insieme di 10 elementi, quante relazioni di simmetria possiamo trovare?" Lui non ha saputo rispondere, mentre il professore gli disse "1024". Ora ho notato che quella è la cardinalità dell'insieme delle parti dell'insieme con 10 elementi, ma non capisco il collegamento. Mi potete aiutare ad arrivarci? P.S. Se gli avesse chiesto qualsiasi altra relazione la risposta sarebbe stata la stessa?

Salve a tutti, ho da poco cominciato a fare esercizi di logica sulle funzioni, ma non capisco cosa mi chiedano e perché abbiano certe risposte: "Definire due funzioni f e g sui numeri Naturali, diverse dall'identità, la cui composizione sia una relazione d'equivalenza" La risposta è : f={(0,1),(1,0),(2,3),(3,2) . . .} e g la sua inversa, la composizione è l'identità "Definire, se esiste, una funzione f non iniettiva e tale che f = f * f" "Definire, se esiste, una funzione f non suriettiva ...

Salve, volevo sapere se esiste un modo facile per calcolare il  $NS_5({(123)})$ o devo fare i calcoli con pazienza. Grazie

Ciao a tutti, recentemente mi sono fiondato su Hilbert e su come dimostrare teoremi attraverso il suo sistema. Sò che per dimostrare un teorema bisogna arrivare a suddetto teorema attraverso una sequenza di proposizioni, le proposizioni accettabili sono: 1)Le istanze degli assiomi; 2)Le proposizioni ottenute applicando la regola del Modus Ponens a 2 proposizioni precedenti. 3)Proposizioni ottenute attraverso la deduzione (se si fanno uso di premesse). Ok, però mi sono bloccato davanti un ...

volevo sapere se nel problema di Basilea era possibile sostituire alla variabile n la variabile complessa z e calcolare l'integrale che deriva dalla serie nel campo complesso. Poi annullando la parte immaginaria e sostituendo a quella reale n dovrei ritrovare lo stesso risultato di Eulero e cioè (pigreco)^2/6. non ho fatto ancora alcun conto(dovrei rivedere buona parte dell'analisi complessa!) ,ma potrebbe essere utile come idea per calcolare qualunque valore della zeta di Riemann?

Buongiorno ragazzi, sto preparando un esame di serie storiche avanzate. Nella spiegazione dell'operatore ritardo $ A(L)=(1-aL) $ , il libro di testo descrive un passaggio che non mi è del tutto chiaro, in part quando, nel fattorizzare il polinomio non capisco come mai gli $ a_i $ mi diventano il reciproco di $ z_i $ complessi. Per favore qualcuno è così gentile da spiegarmi come ci si arriva da questa $ A(L)=1+{:a:}_(1) text(L)+{:a:}_(2) text(L)^(2) +...+ {:a:}_(k) text(L)^(k)= $ a questa? $ A(L)=(1-1/z_1 L)(1-1/z_2 L) ... (1-1/z_k L)=prod_(i = 1)^(k) (1-1/z_i L) $ Grazie mille

Considerare l'insieme R e l'operazione x&y=x+y+2xy. L'accoppiamento è un gruppo commutativo? Per la proprietà commutativa è ovvio che $ y&x=y+x+2yx=x&y $. Vale. Verifico ora l'associativa, prendendo a,b,c in R. $ a&(b&c)=a&(b+c+2bc)=a+b+c+2bc+2ab+2ac+4abc $ $ (a&b)&c=(a+b+2ab)&c=a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc $. Vale. Cerco ora l'elemento neutro: $ x&N=x" " rArr x+N+2xN=x " " rArr 2xN=-N " "rArr x=-1/2 $. Non riesco a interpretare quest'ultimo risultato. Mi sembra senza senso. Grazie in anticipo.

Ho un dubbio, riguardo al seguente esercizio: "Sia A l’insieme {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}},…} e sia R ⊆ ℘(A) × ℘(A) la relazione: R = {(a, B) : a ∈ B}. " L'esercizio poi mi chiede quali sono le sue proprietà, io ho risposto che aveva solo la proprietà antiriflessiva, ma dalle risposte sembra che abbia anche quella antisimmetrica. Ho provato ogni relazione possibile fra due elementi x e y ( xRy) ma a nessuno di questi segue yRx, insomma, \( \forall x,y\in \wp (A) \) , se \( xRy \rightarrow ...

Salve a tutti, avrei, come da titolo, un dubbio sorto da un esercizio lasciatoci dal nostro professore, il testo recita: Sia A l’insieme {∅}. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta per ogni relazione R ⊆ A × A? , e vengono poi elencate tutte le proprietà (riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva). La prima cosa che ho notato è che \( \wp( \emptyset ) \) = \( A \) = { \( \emptyset \) } L'unica relazione binaria possibile su \( \wp( \emptyset ) \) è \( R ...

Salve a tutti, questo sarà il mio primo post su questo sito quindi spero di aver letto bene le regole e di non fare figuracce. Venendo al dunque, il nostro professore ci ha lasciato delle domande a risposta multipla con cui esercitarci, di cui una recita: "Indichiamo con \( \emptyset \) l’insieme vuoto e con \( \wp (A) \) l’insieme dei sottoinsiemi di \( A \) . Quale delle seguenti proposizioni è vera per ogni coppia \( A \) e \( B \) di insiemi " Ci vengono poi date 4 proposizioni le ...

Buongiorno a tutti, Sono nuovo del forum, e sono da un po' bloccato su un esercizio che non riesco a risolvere. L'esercizio chiede di trovare il polinomio minimo di $root(3)(2)$ su $ \mathbb{Q}(omega ) $ con $ omega = -1/2+sqrt3/2i $ (e di conseguenza $ omega^3=1 $ ).

Salve a tutti, quella che sto per proporre è forse una domanda estremamente banale ma non riesco a trovare una risposta certa quindi mi affido a voi. La funzione: \(\displaystyle f(x) \in \mathbb{Z} \rightarrow \frac{x+1}{3} \in \mathbb{Q} \) è suriettiva? La definizionedi suriettvità dice che, in parole, ogni elemento del codominio deve essere immagine di almeno un elemento del dominio. Il mio dubbio è: il codominio, in questo caso, è tutto \(\displaystyle \mathbb{Q} \) o è l'insieme di ...

buona sera a tutti e grazie a chiunque risponderà. Esercizio: sia dato un qualunque anello $A$, dimostrare che se $x\in A$ e definito l'insieme $Ax={ax:a\inA}$ si ha: 1) $Ax$ è un ideale sinistro di $A$ 2) $Ax$ è contenuto in ogni ideale sinistro di A cui appartiene $x$ 3) L'unica proprietà che in genere manca ad $Ax$ affinché sia l'ideale generato da ${x}$ è che ...

Buongiorno, sto trovando difficoltá con alcuni esercizi che presto mi ritroveró ad affrontare in un esame universitario, soprattutto perché trovo poco a riguardo in rete. Si chiede di trovare le soluzione della congruenza $x^26$ $-=$ $1 (mod 35)$ Ho pensato a scomporla in un sistema di due equazioni $x^26$ $-=$ $1 (mod 7)$ e $x^26$ $-=$ $1 (mod 5)$ e sfruttare successivamente il piccolo teorema di ...

sia K un campo con almeno 3 elementi e $G=K xx K^°$ con $K^° =k-{0}$ definiamo in G la seguente operazione $(a,b)(c,d)=(c+ad, bd)$ 1) Verificare che G è un gruppo non abeliano e determinarne il centro. 2) trovare un sottogruppo H e un sottogruppo normale N di G, entrambi non banali, tale che $H nn N = {e_G} $ e $G=HN$ Sia $K= ZZ_7 $ 3) provare che N è ciclico, H è abeliano e che fissato un generatore n di N, ogni elemento di G si scrive in modo unico come ...

Ho un esercizio che chiede di trovare un'interpretazione vera per la formula qui di seguito: $AAxP(x)vvAAxnotP(x)$ x è una variabile, il dominio è $NN$ e la soluzione dice semplicemente: "P è vuota o totale"; ma non è proprio una interpretazione giusto? Per esserlo dovrei scegliere una relazione precisa Ho un altro esempio che non capisco: con la formula $AAxEEyR(x,y)^^notAAxP(x)$, la soluzione dice che è vera se R è seriale e P non totale, per esempio se R è "

Salve sono uno studente di Informatica che sta approfondendo alcuni argomenti sui semigruppi e nel farlo ho incontrato un problemino in questo esercizio: Sia $S$ un semigruppo privo di identità. Mostrare che $S$ è cancellativo senza idempotenti se e solo se $S^1$ è un monoide cancellativo. Per mostrare la prima parte ($\Rightarrow$) ho considerato, essendo $S^1 = S uu {1}$, allora $S^1$ è un monoide, per provare che è cancellativo ho ...

Non cerco necessariamente la spiegazione formale, è che la spiegazione intuitiva mi sembra strana In un esercizio c'è scritto che se $A$ è un anello e voglio provare che $B$ suo sottinsieme è un sottoanello, somma e prodotto (classici, coi numeri) devono essere operazioni interne, e anche l'opposto rispetto alla somma. Io precisamente so che $(B,+,*)$ è un anello se $(B,+)$ è un gruppo abeliano e $(B,*)$ un semigruppo, spero sia ...