Teoria degli insiemi [logica di base]
Salve a tutti, questo sarà il mio primo post su questo sito quindi spero di aver letto bene le regole e di non fare figuracce. 
Venendo al dunque, il nostro professore ci ha lasciato delle domande a risposta multipla con cui esercitarci, di cui una recita:
"Indichiamo con \( \emptyset \) l’insieme vuoto e con \( \wp (A) \) l’insieme dei sottoinsiemi di \( A \) . Quale delle seguenti proposizioni è vera per ogni coppia \( A \) e \( B \) di insiemi "
Ci vengono poi date 4 proposizioni le quali mi sono ritrovato ad indicare tutte come false.
Dalle risposte esce fuori però che una è vera, cioè questa:
" Se \( A = \wp (A) \) allora \( A = \emptyset \) " .
Il mio ragionamento è stato il seguente:
Se \( A = \emptyset \) , l'insieme delle parti di A conterrà un solo elemento, cioè \( \emptyset \) .
Siccome due insiemi si dicono equivalenti quando hanno al loro interno gli stessi elementi, non ci sarà mai un caso dove \( A = \wp (A) \) , poichè A non ha elementi, mentre l'insieme \(\wp( A ) \) sì.
Sicuramente non ho capito bene qualche nozione di base, mi potete aiutare?
Venendo al dunque, il nostro professore ci ha lasciato delle domande a risposta multipla con cui esercitarci, di cui una recita:
"Indichiamo con \( \emptyset \) l’insieme vuoto e con \( \wp (A) \) l’insieme dei sottoinsiemi di \( A \) . Quale delle seguenti proposizioni è vera per ogni coppia \( A \) e \( B \) di insiemi "
Ci vengono poi date 4 proposizioni le quali mi sono ritrovato ad indicare tutte come false.
Dalle risposte esce fuori però che una è vera, cioè questa:
" Se \( A = \wp (A) \) allora \( A = \emptyset \) " .
Il mio ragionamento è stato il seguente:
Se \( A = \emptyset \) , l'insieme delle parti di A conterrà un solo elemento, cioè \( \emptyset \) .
Siccome due insiemi si dicono equivalenti quando hanno al loro interno gli stessi elementi, non ci sarà mai un caso dove \( A = \wp (A) \) , poichè A non ha elementi, mentre l'insieme \(\wp( A ) \) sì.
Sicuramente non ho capito bene qualche nozione di base, mi potete aiutare?
Risposte
Il tuo ragionamento è giusto ma dimostra un'altra cosa.
Pensa alla tabella di verità dell'implicazione logica.
Pensa alla tabella di verità dell'implicazione logica.
Hai ragione, ma non mi veniva in mente un altro modo per dargli un valore di verità o falsità.
Un altro ragionamento che mi era venuto in mente era partire da un insieme delle parti vuoto, cioè senza sottoinsiemi, ma non esiste un insieme delle parti del genere, poiché tutti gli insiemi hanno almeno un sottoinsieme: cioè \( \emptyset \) .
Non so proprio come procedere.
A meno che proprio il fatto che non si possa dimostrare il contrario, gli dia il suo valore di verità.
Un altro ragionamento che mi era venuto in mente era partire da un insieme delle parti vuoto, cioè senza sottoinsiemi, ma non esiste un insieme delle parti del genere, poiché tutti gli insiemi hanno almeno un sottoinsieme: cioè \( \emptyset \) .
Non so proprio come procedere.
A meno che proprio il fatto che non si possa dimostrare il contrario, gli dia il suo valore di verità.
"Se X allora Y" è sempre vero se X è falso.
Scusate... Ma \(\emptyset \neq \{ \emptyset\}\), o sbaglio?
Dunque, come fa ad essere vera $A=mathcal(P)(A)$ per $A=emptyset$?
*** EDIT: Scusate, avevo letto male il quesito.
Dunque, come fa ad essere vera $A=mathcal(P)(A)$ per $A=emptyset$?
*** EDIT: Scusate, avevo letto male il quesito.
Grazie mille del suggerimento e della conferma, sono soddisfatto dell'intervento!
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