Inverse destre e sinistre

[anti-spells]

Trovo spesso questo tipo di esercizi nell'esame, ma non so come devo risolverli:

Esempio:

Sia $\phi: NN \to NN$ definita da $\phi(x) = 2x AA x in NN$.
a) Determinare tutte le applicazioni $\sigma : NN \to NN$ tali che $\phi\sigma =$ id
b) Determinare tutte le applicazioni $\omega : NN \to NN$ tali che $\omega\phi =$ id

Come dovrei fare? so che la applicazione che manda x in (1/2)x è una, ma le altre?

[otta96]

E l'applicazione che hai detto dove manda l'$1$? E in generale qualsiasi numero dispari?

[anti-spells]

"otta96":E l'applicazione che hai detto dove manda l'$1$? E in generale qualsiasi numero dispari?

Da nessuna parte, forse avrei dovuto pensarci 20 secondi in più ahah. Riguardo alla consegna come devo adoperarmi?

[otta96]

Cercando di aggiustare il primo tentativo alla luce dei problemi che sono spuntati fuori.

[otta96]

Allora? Ci hai pensato?

[anti-spells]

Ciao, scusami ma ho avuto esame il 23, questo pomeriggio ho algebra quindi mi conviene capire come farli:

Due inverse destre sono le applicazioni $\omega$ che mandano $x$ in $x/2$ se $x$ pari, $x$ in $(x+1)/2$ se x dispari, ma anche se manda $x$ dispari in $(x-1)/2$ non dovrebbero esserci problemi ( semplicemente non è iniettiva perchè 0 è controimmagine di 2 elementi ) . Mentre un'inversa sinistra $\sigma$ è l'applicazione che manda $2x$ in x, visto che i $2x$ sono tutti pari. Giusto? E nel caso lo fosse, come posso determinare le eventuali altre?

[otta96]

Dato che la tua funzione non è suriettiva, non ammette inverse destre. Invece dato che è iniettiva ne ammette di sinistre. Più o meno hai capito come sono fatte, in particolare devono mandare ogni numero pari nella sua metà. C'è da capire cosa fanno sui numeri dispari. Il punto è che possono fare letteralmente qualsiasi cosa, cioè un'inversa sinistra si rappresenta come una QUALSIASI funzione che manda i pari nella loro metà.

[anti-spells]

"otta96":Dato che la tua funzione non è suriettiva, non ammette inverse destre. Invece dato che è iniettiva ne ammette di sinistre. Più o meno hai capito come sono fatte, in particolare devono mandare ogni numero pari nella sua metà. C'è da capire cosa fanno sui numeri dispari. Il punto è che possono fare letteralmente qualsiasi cosa, cioè un'inversa sinistra si rappresenta come una QUALSIASI funzione che manda i pari nella loro metà.

Grazie per le correzioni. In effetti avrebbe dovuto venirmi in mente visto che abbiamo studiato come determinare inverse destre e sinistre in geometria con applicazioni tra spazi vettoriali.

Quindi per riassumere, guardo sempre se la funzione è iniettiva/suriettiva/biiettiva, se è iniettiva ammette infinite inverse sx, se è suriettiva infinite dx, se è biiettiva ammette infinite inverse sx, infinite dx e una inversa, corretto?

In questo caso le inverse sx mandano un x pari in x/2 mentre gli x dispari arbitrariamente, e queste sono tutte le inverse sx.

Ci sono?

[otta96]

"anti-spells":Quindi per riassumere, guardo sempre se la funzione è iniettiva/suriettiva/biiettiva, se è iniettiva ammette infinite inverse sx, se è suriettiva infinite dx, se è biiettiva ammette infinite inverse sx, infinite dx e una inversa, corretto?

Non è detto che siano infinite. In generale se hai una funzione iniettiva le inverse sinistre si trovano mandando gli elementi dell'immagine da dove venivano e tutti gli altri in elementi a caso. Se una funzione è suriettiva le inverse destre si trovano mandando ogni elemento in uno da cui provengono (non è detto sia unico). Ora dovrebbe esserti abbastanza chiaro che se la funzione è biunivoca esiste una sola inversa destra e una sola sinistra, che non sono altro che l'inversa.

In questo caso le inverse sx mandano un x pari in x/2 mentre gli x dispari arbitrariamente, e queste sono tutte le inverse sx.

Si.

[anti-spells]

"otta96":[quote="anti-spells"]Quindi per riassumere, guardo sempre se la funzione è iniettiva/suriettiva/biiettiva, se è iniettiva ammette infinite inverse sx, se è suriettiva infinite dx, se è biiettiva ammette infinite inverse sx, infinite dx e una inversa, corretto?

Non è detto che siano infinite. In generale se hai una funzione iniettiva le inverse sinistre si trovano mandando gli elementi dell'immagine da dove venivano e tutti gli altri in elementi a caso. Se una funzione è suriettiva le inverse destre si trovano mandando ogni elemento in uno da cui provengono (non è detto sia unico). Ora dovrebbe esserti abbastanza chiaro che se la funzione è biunivoca esiste una sola inversa destra e una sola sinistra, che non sono altro che l'inversa.

In questo caso le inverse sx mandano un x pari in x/2 mentre gli x dispari arbitrariamente, e queste sono tutte le inverse sx.

Si.[/quote]

Ok grazie, ma in questo caso visto che la funzione è definita su $NN$ che è infinito, le inverse sx sono infinite. In generale non è sempre vero questo fatto per insiemi infiniti?

[otta96]

Le inverse sinistre sono infinite se almeno uno tra il dominio e il complementare dell'immagine è infinito (in questo caso entrambi), sempre che il dominio abbia almeno due elementi e il complementare dell'immagine ne abbia almeno uno.

[anti-spells]

"otta96":Le inverse sinistre sono infinite se almeno uno tra il dominio e il complementare dell'immagine è infinito (in questo caso entrambi), sempre che il dominio abbia almeno due elementi e il complementare dell'immagine ne abbia almeno uno.

Grazie mille hai sviscerato completamente l'argomento