Proprieta' funzione iniettiva

[SimoneColombelli7611]

Buongiorno, mi sono imbattuto in un esercizio, sicuramente per voi semplice ma che mi ha dato parecchio da pensare.

Sia f :A $\rightarrow $ B una funzione.Dimostrare che per ogni coppia S,T di sottoinsiemi di A vale l'eguaglianza :

f(S$\bigcap$ T) = f(S) $\bigcap$ f(T)

se e solo se f e' ima finzione iniettiva.

[Gi81]

Sia $f: A ->B$ una funzione.
Dimostrare che $[f text{ iniettiva}] <=> [f(S nn T) = f(S) nn f(T) \ \ \ AA S,T sube A]$.

\(\displaystyle ( \Rightarrow ) \)
Abbiamo per ipotesi che $f$ è iniettiva, e dobbiamo dimostrare che $f(S nn T) = f(S) nn f(T) \ \ \ AA S,T sube A$. Dimostreremo due cose: che $f(S nn T) sube f(S) nn f(T)$ (1) e poi che $f(S) nn f(T) sube f(S nn T)$ (2).

1)Sia $y in f( S nn T)$.
Vogliamo dimostrare che $y in f(S) nn f(T)$.
Abbiamo che $EE x in S nn T$ tale che $f(x)=y$. Poiché $x in S nn T$, ...

2) Sia $z in f(S) nn f(T)$.
Vogliamo dimostrare che $z in f(S nn T)$, ovvero che esiste $h in S nn T$ tale che $f(h)=z$.

Abbiamo ${(z in f(S)),(z in f(T)):}=> {(EE s in S : f(s)=z),(EE t in T : f(t)=z):}=>$...


\(\displaystyle ( \Leftarrow ) \)
Abbiamo per ipotesi che $f(S nn T) = f(S) nn f(T) \ \ \ AA S,T sube A$, e dobbiamo dimostrare che $f$ è iniettiva.

Siano $a,b in A$ tali che $f(a)=f(b)$. Se dimostriamo che $a=b$, abbiamo finito.
Supponiamo per assurdo che $a!=b$, e prendiamo $S:={a}$ e $T:={b}$....

[SimoneColombelli7611]

Grazie per la risposta, trovo molto ostica la (⇐)...

[Gi81]

Ok, no problem. Proviamo a continuare quello che ho scritto.
Quegli $S$ e $T$ che ho scritto hanno elementi in comune?

[SimoneColombelli7611]

Direi di no.

[Gi81]

Direi anch'io. Anche perchè
1) $S$ è un insieme che ha un solo elemento, che è $a$;
2) $T$ è un insieme che ha un solo elemento, che è $b$;
3) $a !=b$


Quindi \( S \cap T = \emptyset \)
Bene, da questo deduciamo che \(\displaystyle f(S \cap T) = \emptyset \)

Ora, posto \(\displaystyle z:=f(a) \), si ha ovviamente anche $z= f(b)$.

Riesci a proseguire?

N.B.: "No" non è una risposta valida

[SimoneColombelli7611]

f(a)=f(b)

[Gi81]

Che $f(a)=f(b)$ lo sappiamo fin dall'inizio... Era la mia ipotesi:

"Gi8":Siano $a,b in A$ tali che $f(a)=f(b)$.

Per questo ho scritto che, posto \( z:= f(a) \), si ha subito che $z= f(b)$

[SimoneColombelli7611]

ok a=b

[Gi81]

Perché?

Guarda, voglio essere chiaro. Mi stai dando l'idea di darmi delle risposte buttate lì, senza ragionare troppo.

Non mi importa nulla se mi rispondi subito. Puoi anche pensarci con calma. La cosa che gradirei è che tu perda del tempo a riflettere. E' (anche) a questo che serve fare matematica: a ragionare sulle cose.

[SimoneColombelli7611]

Si scusa.z dovrebbe appartenere a f(S) e a f(T)

[Gi81]

Bene, quindi esiste $z$ tale che $f(S) nn f(T)$.
Ma poiché \( f(S \cap T) = \emptyset \), allora abbiamo un assurdo, perché ...