Gruppi liberi.
Sia \( F \) un gruppo libero di base \( X \), dove \( X \) è un insieme.
a) Per \( x \in X \) verifica che l'applicazione \( s_x : F \mathbb{Z} \) che invia una parola ridotta \(w \in F \) sulla somma dei suoi esponenti dei termini \(x \) che appaiono in \( w \) è un omomorfismo di gruppo suriettivo.
b) Dimostra che se \( w \in F \) allora \( w \in [F,F] \) se e solo se \( s_x(w)=0 \) per ogni \( x \in X \)
c) Dimostra che se \( X \) è di rango \( \left| X \right| =n > 2 \) allora \( F/ [F,F] \cong \mathbb{Z}^n \).
Allora per il punto a) ho fatto:
Fissiamo \( x \in X \) e prendiamo una parola ridotta \( w=w_1^{m_1}\ldots w_k^{m_k} \) siccome è ridotta possiamo supporre che \( w_i \neq w_{i+1} \) per ogni \( 1 \leq i < k \). Sia \( J := \{ 1 \leq j \leq k : w_j= x \} \) allora abbiamo che \[ s_x(w)= \sum_{j \in J} m_j = \sum_{j \in J} s_x(w_j) = \sum_{ i=1}^{k} s_x(w_i) \]
e dunque siccome la struttura di gruppo di \( F \) è data dalla concatenazione delle parole abbiamo che per ogni \( w,w' \in F \)
\[ s_x(w w')=s_x(w)+ s_x(w' ) \]
Inoltre se \( n \in \mathbb{Z} \) abbiamo \( s_x(x^n) = n \) pertanto è suriettivo.
b) Se \( w \in [F,F] \) allora abbiamo che \( w = ghg^{-1}h^{-1} \) per qualche \( g,h \in F \) e risulta dunque abbiamo che siccome \( s_x \) è un omomorfismo allora per ogni \( x \in X \)
\[ s_x(w)=s_x(g) + s_x(h) + s_x(g^{-1}) + s_x(h^{-1}) = s_x(g) - s_x(g) + s_x(h) -s_x(h) =0 \]
Per l'altra direzione supponiamo che \( s_x(w)=0 \) per ogni \(x \in X \).
Procediamo per induzione sul numero di caratteri della parola, se la parola possiede un solo carattere allora abbiamo che \( w = e \), ovvero il simbolo "vuoto", che è incluso nel commutatore. Supponiamo vero per \( n -1 \)
Sia \( w = g x^{\alpha} h x^{\beta} u \)
dove \( g,h \) e \( u \) sono parole ridotte e \( \alpha, \beta \in \mathbb{Z} \). Abbiamo pertanto che
\( w= g x^{\alpha} h x^{-\alpha}g^{-1} h^{-1} h g x^{\alpha + \beta} u \)
Notiamo che \( g x^{\alpha} h x^{-\alpha}g^{-1} \in [F,F] \) e notiamo pure che \( s_x( h g x^{\alpha + \beta} u) = 0 \) per ogni \( x \in X \) poiché ha gli stessi esponenti di \( w \) però possiede un carattere in meno quindi per ipotesi induttiva abbiamo che \( h g x^{\alpha + \beta} u \in [F,F] \) pertanto siccome \( [F,F] \) è un gruppo abbiamo che è stabile dunque \( w \in [F,F] \).
Per c) ho pensato di fare così
\( s: F \to \mathbb{Z}^n \) definita \( s(w) := \prod_{x \in X} s_x(w) \) abbiamo dunque che che \( \ker (s) = [F,F] \) poiché \( s(w)=(0,\ldots,0 ) \) se e solo se \( s_x(w)=0 \) per ogni \( x \in X \).
Inoltre immagino sia suriettiva poiché ciascuna componente è suriettiva e pertanto se esiste una \(n\)-upla in \( \mathbb{Z}^n \) che denotiamo con \( (z_1,\ldots,z_n) \in \mathbb{Z}^n \) allora esiste la parola \[ w=\prod_{x \in X} x^{z_j} \]
la cui immagine per \(s \) è \( (z_1,\ldots,z_n) \), dunque per il primo teorema d'isomorfismo che
\[ F/[F,F] \cong \mathbb{Z}^n \]
a) Per \( x \in X \) verifica che l'applicazione \( s_x : F \mathbb{Z} \) che invia una parola ridotta \(w \in F \) sulla somma dei suoi esponenti dei termini \(x \) che appaiono in \( w \) è un omomorfismo di gruppo suriettivo.
b) Dimostra che se \( w \in F \) allora \( w \in [F,F] \) se e solo se \( s_x(w)=0 \) per ogni \( x \in X \)
c) Dimostra che se \( X \) è di rango \( \left| X \right| =n > 2 \) allora \( F/ [F,F] \cong \mathbb{Z}^n \).
Allora per il punto a) ho fatto:
Fissiamo \( x \in X \) e prendiamo una parola ridotta \( w=w_1^{m_1}\ldots w_k^{m_k} \) siccome è ridotta possiamo supporre che \( w_i \neq w_{i+1} \) per ogni \( 1 \leq i < k \). Sia \( J := \{ 1 \leq j \leq k : w_j= x \} \) allora abbiamo che \[ s_x(w)= \sum_{j \in J} m_j = \sum_{j \in J} s_x(w_j) = \sum_{ i=1}^{k} s_x(w_i) \]
e dunque siccome la struttura di gruppo di \( F \) è data dalla concatenazione delle parole abbiamo che per ogni \( w,w' \in F \)
\[ s_x(w w')=s_x(w)+ s_x(w' ) \]
Inoltre se \( n \in \mathbb{Z} \) abbiamo \( s_x(x^n) = n \) pertanto è suriettivo.
b) Se \( w \in [F,F] \) allora abbiamo che \( w = ghg^{-1}h^{-1} \) per qualche \( g,h \in F \) e risulta dunque abbiamo che siccome \( s_x \) è un omomorfismo allora per ogni \( x \in X \)
\[ s_x(w)=s_x(g) + s_x(h) + s_x(g^{-1}) + s_x(h^{-1}) = s_x(g) - s_x(g) + s_x(h) -s_x(h) =0 \]
Per l'altra direzione supponiamo che \( s_x(w)=0 \) per ogni \(x \in X \).
Procediamo per induzione sul numero di caratteri della parola, se la parola possiede un solo carattere allora abbiamo che \( w = e \), ovvero il simbolo "vuoto", che è incluso nel commutatore. Supponiamo vero per \( n -1 \)
Sia \( w = g x^{\alpha} h x^{\beta} u \)
dove \( g,h \) e \( u \) sono parole ridotte e \( \alpha, \beta \in \mathbb{Z} \). Abbiamo pertanto che
\( w= g x^{\alpha} h x^{-\alpha}g^{-1} h^{-1} h g x^{\alpha + \beta} u \)
Notiamo che \( g x^{\alpha} h x^{-\alpha}g^{-1} \in [F,F] \) e notiamo pure che \( s_x( h g x^{\alpha + \beta} u) = 0 \) per ogni \( x \in X \) poiché ha gli stessi esponenti di \( w \) però possiede un carattere in meno quindi per ipotesi induttiva abbiamo che \( h g x^{\alpha + \beta} u \in [F,F] \) pertanto siccome \( [F,F] \) è un gruppo abbiamo che è stabile dunque \( w \in [F,F] \).
Per c) ho pensato di fare così
\( s: F \to \mathbb{Z}^n \) definita \( s(w) := \prod_{x \in X} s_x(w) \) abbiamo dunque che che \( \ker (s) = [F,F] \) poiché \( s(w)=(0,\ldots,0 ) \) se e solo se \( s_x(w)=0 \) per ogni \( x \in X \).
Inoltre immagino sia suriettiva poiché ciascuna componente è suriettiva e pertanto se esiste una \(n\)-upla in \( \mathbb{Z}^n \) che denotiamo con \( (z_1,\ldots,z_n) \in \mathbb{Z}^n \) allora esiste la parola \[ w=\prod_{x \in X} x^{z_j} \]
la cui immagine per \(s \) è \( (z_1,\ldots,z_n) \), dunque per il primo teorema d'isomorfismo che
\[ F/[F,F] \cong \mathbb{Z}^n \]
Risposte
Fino alla prima parte del punto (b) sono d'accordo... poi vedremo. 
Forse l'induzione ho iniziato dal passo iniziale sbagliato credo devo iniziare da lunghezza \(4 \), presi \( x,y \in X \) avere \( w = xyx^{-1}y^{-1} \).
In effetti manca il passo base...
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