$f(S \cap T) = f(S) \cap f(T) \Leftrightarrow$ f iniettiva
Sia $f:A\toB$ una funzione. Dimostrare che per ogni coppia $S,T$ di sottoinsiemi di A vale l'uguaglianza $f(S \cap T) = f(S) \cap f(T) $ se e solo se $f$ è iniettiva.
Tentativo
L'idea è quella di procedere per assurdo con $f$ iniettiva assumendo $f(S \cap T) \ne f(S) \cap f(T)$ per giungere ad una contraddizione, ossia f non iniettiva. Se $f(S \cap T) \ne f(S) \cap f(T) $ allora esiste un elemento $\alpha$ tale che $\alpha \notin f(S \cap T)$ oppure $ \alpha \notin f(S) \cap f(T) $. Da qui poi non saprei come giungere alla contraddizione.
Più in generale vorrei capire come mai sono così scarso nelle dimostrazioni, capire qual è il problema e come ovviare ad esso. Mi pare di chiedere aiuto troppo spesso
Sto cercando di dare Algebra a settembre ed arrivare a Novembre con un semestre di ritardo, altrimenti mi devo iscrivere da ripetente.
Tentativo
L'idea è quella di procedere per assurdo con $f$ iniettiva assumendo $f(S \cap T) \ne f(S) \cap f(T)$ per giungere ad una contraddizione, ossia f non iniettiva. Se $f(S \cap T) \ne f(S) \cap f(T) $ allora esiste un elemento $\alpha$ tale che $\alpha \notin f(S \cap T)$ oppure $ \alpha \notin f(S) \cap f(T) $. Da qui poi non saprei come giungere alla contraddizione.
Più in generale vorrei capire come mai sono così scarso nelle dimostrazioni, capire qual è il problema e come ovviare ad esso. Mi pare di chiedere aiuto troppo spesso
Sto cercando di dare Algebra a settembre ed arrivare a Novembre con un semestre di ritardo, altrimenti mi devo iscrivere da ripetente.
Risposte
In linea generale per provare che $A=B$ (insiemi) ti consiglierei di procedere per doppia inclusione, provando cioè che se $a\in A$ allora $a\in B$ e se $b\inB$ allora $b\inA$, ovvero sono inclusi uno nell'altro. Prova a fare così intanto per la freccia $\leftarrow$.
Però lui non deve provare che gli insiemi siano uguali ma che se sono uguali allora è iniettiva e se invece non lo sono non è iniettiva 
Innanzitutto, è sempre vero, iniettiva o no, che \(f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B)\); allora è sufficiente provare che \(f\) è iniettiva se e solo se \(f(A\cap B) \supseteq f(A)\cap f(B)\).
Da un lato, se \(fa = fb\), allora \(f(\{a\}) = f(\{b\})\), e allora \(f(\{a\}) = f(\{a\})\cap f(\{b\}) = f(\{a\}\cap\{b\})\); del resto, questo è o vuoto, se \(a\neq b\), oppure è fatto da \(\{a\}\), se \(a=b\); la prima cosa non può succedere, perché \(f(\varnothing)=\varnothing\neq f(a)\). Quindi, \(a=b\).
Viceversa, se \(f\) è iniettiva, e prendi un elemento \(x\in f(A)\cap f(B)\), allora esiste uno \(z\in A\) tale che \(f(z)=x\); del resto ne esiste anche uno in \(B\); ma \(f\) è iniettiva...
Da un lato, se \(fa = fb\), allora \(f(\{a\}) = f(\{b\})\), e allora \(f(\{a\}) = f(\{a\})\cap f(\{b\}) = f(\{a\}\cap\{b\})\); del resto, questo è o vuoto, se \(a\neq b\), oppure è fatto da \(\{a\}\), se \(a=b\); la prima cosa non può succedere, perché \(f(\varnothing)=\varnothing\neq f(a)\). Quindi, \(a=b\).
Viceversa, se \(f\) è iniettiva, e prendi un elemento \(x\in f(A)\cap f(B)\), allora esiste uno \(z\in A\) tale che \(f(z)=x\); del resto ne esiste anche uno in \(B\); ma \(f\) è iniettiva...
"caulacau":
Innanzitutto, è sempre vero, iniettiva o no, che \(f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B)\); allora è sufficiente provare che \(f\) commuta con le intersezioni se e solo se \(f(A\cap B) \supseteq f(A)\cap f(B)\).
Cosa significa che "$f$ commuta con le intersezioni"?
Significa che le preserva. Ma intendevo "\(f\) è iniettiva".
Viceversa, se f è iniettiva, consideriamo $x \in f(A) \cap f(B)$, allora esiste $z \in A$ tale che $f(z) = x$; del resto esiste anche $w \in B$ tale che $f(w) = x$, ma $f$ è iniettiva quindi si ha $w = z$ da cui $z \in A \cap B$ e $x \in f(A \cap B)$. Si conclude che $f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B)$.
Urrà! Ce l'hai fatta.
Scusate non ho capito il passaggio :
f(a)=f(b) allora f({a})=f({b})
f(a)=f(b) allora f({a})=f({b})
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