Dominio a fattorizzazione unica
Allora ho trovato due diverse definizioni di dominio a fattorizzazione unica, quella su cui si basa il mio prof che è la seguente
Un dominio d'integrità \(A\) è detto dominio a fattorizzazione unica se per ogni elemento non nullo \(a \in A \) esso si può e scrivere come \( a = u \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) dove \( u \in A^{\times} \), \(n \in \mathbb{N}\) e \( p_i \) è irriducibile per ogni \(1 \leq i \leq n \).
Inoltre questa fattorizzazione è essenzialmente unica nel senso che se \( a= v \cdot q_1 \cdot \ldots \cdots q_m \) allora \(n=m\) ed esiste \( \sigma \in S_n \) tale che \(p_i \) e \( q_{\sigma(i)}\) sono associati.
Mentre ho trovato su wikipedia un'altra definizione dove richiede che \(a \in A \) non nullo e non invertibile ammette la fattorizzazione \( a = p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \).
Il resto uguale.
E non mi sembrano equivalenti queste due definizioni. Con la prima definizione chiaramente siccome \(u \) è un'unità abbiamo che \( u^{-1}a=p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) ma siccome pure \( a \) è invertibile abbiamo che \(u^{-1} a \) è invertibile con inversa \(a^{-1} u \), cosa non specificata nella definizione di wikipedia.
Inoltre partendo dalla seconda definizione con \(a \) non invertibile se moltiplichiamo per \(u \) invertibile otteniamo \( au = u \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \). Mi domando dunque è sempre possibile per ogni \( x \in A \) non nullo scriverlo come \(x=ua \) con \(a \) non invertibile e \(u \) invertibile ?
Penso di no, se prendiamo \(x \) riducibile, allora sia \( u\) che \(a \) non sono invertibili. Quindi o non esistono elementi riducibili in un domino a fattorizzazione unica, cosa che mi sembra assurda, oppure le due definizioni non sono equivalenti oppure ancora sto sbagliando qualcosa.
Un dominio d'integrità \(A\) è detto dominio a fattorizzazione unica se per ogni elemento non nullo \(a \in A \) esso si può e scrivere come \( a = u \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) dove \( u \in A^{\times} \), \(n \in \mathbb{N}\) e \( p_i \) è irriducibile per ogni \(1 \leq i \leq n \).
Inoltre questa fattorizzazione è essenzialmente unica nel senso che se \( a= v \cdot q_1 \cdot \ldots \cdots q_m \) allora \(n=m\) ed esiste \( \sigma \in S_n \) tale che \(p_i \) e \( q_{\sigma(i)}\) sono associati.
Mentre ho trovato su wikipedia un'altra definizione dove richiede che \(a \in A \) non nullo e non invertibile ammette la fattorizzazione \( a = p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \).
Il resto uguale.
E non mi sembrano equivalenti queste due definizioni. Con la prima definizione chiaramente siccome \(u \) è un'unità abbiamo che \( u^{-1}a=p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) ma siccome pure \( a \) è invertibile abbiamo che \(u^{-1} a \) è invertibile con inversa \(a^{-1} u \), cosa non specificata nella definizione di wikipedia.
Inoltre partendo dalla seconda definizione con \(a \) non invertibile se moltiplichiamo per \(u \) invertibile otteniamo \( au = u \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \). Mi domando dunque è sempre possibile per ogni \( x \in A \) non nullo scriverlo come \(x=ua \) con \(a \) non invertibile e \(u \) invertibile ?
Penso di no, se prendiamo \(x \) riducibile, allora sia \( u\) che \(a \) non sono invertibili. Quindi o non esistono elementi riducibili in un domino a fattorizzazione unica, cosa che mi sembra assurda, oppure le due definizioni non sono equivalenti oppure ancora sto sbagliando qualcosa.
Risposte
Entrambe le definizioni sono corrette, a patto che nella prima si usi la convenzione che quando $n=0$ non ci sono fattori irriducibili nella scrittura di $a$ (ed è una convenzione che si usa molto spesso).
Decisamente no. Nessun elemento invertibile può essere scritto come prodotto di un invertibile ed un non-invertibile.
"3m0o":
Mi domando dunque è sempre possibile per ogni \( x \in A \) non nullo scriverlo come \(x=ua \) con \(a \) non invertibile e \(u \) invertibile ?
Decisamente no. Nessun elemento invertibile può essere scritto come prodotto di un invertibile ed un non-invertibile.
"hydro":
Decisamente no. Nessun elemento invertibile può essere scritto come prodotto di un invertibile ed un non-invertibile.
E questo non contraddice l'equivalenza delle due definizioni?
Sono d'accordo anche io che è no la risposta alla mia domanda, ma allora quelle due definizioni a priori differiscono, e potrei avere un anello \(A \) che è dominio a fattorizzazione unica in un senso e non nell'altro.
"3m0o":
[quote="hydro"]
Decisamente no. Nessun elemento invertibile può essere scritto come prodotto di un invertibile ed un non-invertibile.
E questo non contraddice l'equivalenza delle due definizioni?
Sono d'accordo anche io che è no la risposta alla mia domanda, ma allora quelle due definizioni a priori differiscono, e potrei avere un anello \(A \) che è dominio a fattorizzazione unica in un senso e non nell'altro.[/quote]
La prima si legge come "ogni elemento non nullo si scrive come prodotto di un invertibile e di un numero $\geq 0$ di irriducibili, in maniera essenzialmente unica". La seconda si legge come "Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di invertibili, in maniera essenzialmente unica". E' chiaro che le due definizioni sono equivalenti: nessuna delle due dà alcuna informazione sulla scrittura degli invertibili.
"hydro":
La prima si legge come "ogni elemento non nullo si scrive come prodotto di un invertibile e di un numero $\geq 0$ di irriducibili, in maniera essenzialmente unica". La seconda si legge come "Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di invertibili, in maniera essenzialmente unica". E' chiaro che le due definizioni sono equivalenti: nessuna delle due dà alcuna informazione sulla scrittura degli invertibili.
La seconda scusami ma si legge
"Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di irriducibili, in maniera essenzialmente unica".
E ora ho capito il perché sono equivalenti, il motivo è che se un elemento è invertibile \(a = a \) è la sua fattorizzazione. Io pensavo che \( a= u p_1 \cdot p_n \) è la sua fattorizzazione con \(n \) non necessariamente, anche nel caso di \(a\) invertibile, uguale a \(0\).
"3m0o":
[quote="hydro"]
La prima si legge come "ogni elemento non nullo si scrive come prodotto di un invertibile e di un numero $\geq 0$ di irriducibili, in maniera essenzialmente unica". La seconda si legge come "Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di invertibili, in maniera essenzialmente unica". E' chiaro che le due definizioni sono equivalenti: nessuna delle due dà alcuna informazione sulla scrittura degli invertibili.
La seconda scusami ma si legge
"Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di irriducibili, in maniera essenzialmente unica".
[/quote]
Sì scusami certo ho scritto invertibili invece che irriducibili.
"3m0o":
E ora ho capito il perché sono equivalenti, il motivo è che se un elemento è invertibile \(a = a \) è la sua fattorizzazione. Io pensavo che \( a= u p_1 \cdot p_n \) è la sua fattorizzazione con \(n \) non necessariamente, anche nel caso di \(a\) invertibile, uguale a \(0\).
Quando $a$ è invertibile $n$ è necessariamente $0$, per il motivo di cui sopra. Comunque sono dettagli poco interessanti, il punto è semplicemente che non ci si interessa di cosa succede agli elementi invertibili dal punto di vista della fattorizzazione. Ci sono tante altre domande interessanti a riguardo, per esempio quale sia la struttura del gruppo degli elementi invertibili.
La domanda mi era sorta in quanto risolvendo questo esercizio mi era venuto un dubbio
Dimostra che tutti gli anelli principali sono fattoriali.
Per l'esistenza della fattorizzazione:
Supponiamo che esista un \( a \in A \) tale che non ammetta fattorizzazione \(u \prod_{i=1}^{r} p_i \), dove \(u \in A^{\times} \) e \( p_i \) irriducibili. Allora \(a \not\in A^{\times} \) e \(a \) non è irriducibile altrimenti \(a=a \) sarebbe una fattorizzazione. Dunque \( a= a_1 b_1 \) dove \(a_1,b_1 \not\in A^{\times} \) inoltre abbiamo che \(a_1 \) oppure \(b_1 \) non ammette una decomposizione in prodotti irriducibili. Per commutatività dell'anello possiamo supporre senza ledere a generalità che sia \(a_1 \).
Dunque \(a_1=a_2 b_2 \) dove \(a_1,b_1 \not\in A^{\times} \) inoltre abbiamo che \(a_1 \) oppure \(b_1 \) non ammette una decomposizione in prodotti irriducibili. Procediamo induttivamente e otteniamo che
\( a_n = a_{n+1} b_{n+1} \) dove \(a_{n+1},b_{n+1} \not\in A^{\times} \)
Dunque abbiamo riscritto
\[ a = a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 \cdot b_1 = a_3 \cdot b_3 \cdot b_2 \cdot b_1 = \ldots \]
Dunque siccome "dividere = contenere" abbiamo la seguente catena di inclusioni
\[ (a) \subset (a_1) \subset (a_2) \subset \ldots \subset (a_n) \subset \ldots \]
Inoltre poiché \(b_n \not\in A^{\times} \) allora \(a_n \) e \( a_{n+1} \) non sono associati ma abbiamo allora che è una catena di ideali di \(A \) che non si stabilizza, contraddizione! Poiché Tutti gli anelli principali sono anche anelli noetheriani.
Unicità essenziale:
Sia \(a = u \prod_{i=1}^{r} p_i \) e \(a = v \prod_{j=1}^{s} q_j \) due fattorizzazioni. Voglio dimostrare che \(r=s \) e che i \(p_i \) sono associati ai \(q_j\) due a due. Sia senza perdita di generalità \(r < s \).
--->Il mio dubbio è con il passo base nel senso che non so come fare partendo da \(r=1\) usando la seconda definizione. In tutta la dimostrazione ho usato chiaramente la definizione su cui si basa il mio prof. <----
Con \(r=0 \) abbiamo che \(a=u \in A^{\times} \) e \(a=v \prod_{j=1}^{s} q_j \)
\[ 1_A = u^{-1} v \prod_{j=1}^{s} q_j \]
dunque se \( s \geq 1 \) abbiamo che \(q_s \in A^{\times} \) contraddizione poiché è irriducibile!
Dunque \( s=0\), ed in questo caso abbiamo proprio l'unicità!
con \(r \geq 1 \)
\[ a = u \prod_{i=1}^{r} p_i = v \prod_{j=1}^{s} q_j \], se \( s \geq r \) abbiamo che \(q_1 \) è irreducibile e \(q_1 \mid a \) allora \(q_1 \mid p_1 u \prod_{i=2}^{r} p_i \). Dunque abbiamo che \(q_1 \mid p_1 \) oppure \(q_1 \mid u \prod_{i=2}^{r} p_i \) siccome \( (q_1) \) è primo. Nel primo caso allora \(p_1 \) è associato a \(q_1 \) siccome \(q_1\) irriducibile. Altrimenti nel secondo caso per ricorrenza troviamo un indice \( 2 \leq i \leq r \) tale che \(q_1 \mid p_i \), in entrambi i casi troviamo un \(p_i \) associato a \(q_1 \), per commutatività dell'anello diciamo che è \(p_1\).
Allora \(q_1 = wp_1\) e \(a=u \prod_{i=1}^{r} p_i = v w p_1 \prod_{j=2}^{s} q_j \), semplifichiamo dunque per \(p_1 \) e lo possiamo fare poiché un anello principale è un dominio d'integrità. Allora abbiamo che
\[ u \prod_{i=2}^{r} p_i = v w \prod_{j=2}^{s} q_j \]
e ci siamo ridotti a \(r-1\) e concludiamo per ipotesi di ricorrenza che \(r=s\) e che \(q_j \) sono associati 2 a 2 ai \(p_i \) per \( 2 \leq j \leq r \) e \( 2 \leq i \leq r \). Inoltre poiché \(p_1 \) è associato a \(q_1 \) concludiamo!
Dimostra che tutti gli anelli principali sono fattoriali.
Per l'esistenza della fattorizzazione:
Supponiamo che esista un \( a \in A \) tale che non ammetta fattorizzazione \(u \prod_{i=1}^{r} p_i \), dove \(u \in A^{\times} \) e \( p_i \) irriducibili. Allora \(a \not\in A^{\times} \) e \(a \) non è irriducibile altrimenti \(a=a \) sarebbe una fattorizzazione. Dunque \( a= a_1 b_1 \) dove \(a_1,b_1 \not\in A^{\times} \) inoltre abbiamo che \(a_1 \) oppure \(b_1 \) non ammette una decomposizione in prodotti irriducibili. Per commutatività dell'anello possiamo supporre senza ledere a generalità che sia \(a_1 \).
Dunque \(a_1=a_2 b_2 \) dove \(a_1,b_1 \not\in A^{\times} \) inoltre abbiamo che \(a_1 \) oppure \(b_1 \) non ammette una decomposizione in prodotti irriducibili. Procediamo induttivamente e otteniamo che
\( a_n = a_{n+1} b_{n+1} \) dove \(a_{n+1},b_{n+1} \not\in A^{\times} \)
Dunque abbiamo riscritto
\[ a = a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 \cdot b_1 = a_3 \cdot b_3 \cdot b_2 \cdot b_1 = \ldots \]
Dunque siccome "dividere = contenere" abbiamo la seguente catena di inclusioni
\[ (a) \subset (a_1) \subset (a_2) \subset \ldots \subset (a_n) \subset \ldots \]
Inoltre poiché \(b_n \not\in A^{\times} \) allora \(a_n \) e \( a_{n+1} \) non sono associati ma abbiamo allora che è una catena di ideali di \(A \) che non si stabilizza, contraddizione! Poiché Tutti gli anelli principali sono anche anelli noetheriani.
Unicità essenziale:
Sia \(a = u \prod_{i=1}^{r} p_i \) e \(a = v \prod_{j=1}^{s} q_j \) due fattorizzazioni. Voglio dimostrare che \(r=s \) e che i \(p_i \) sono associati ai \(q_j\) due a due. Sia senza perdita di generalità \(r < s \).
--->Il mio dubbio è con il passo base nel senso che non so come fare partendo da \(r=1\) usando la seconda definizione. In tutta la dimostrazione ho usato chiaramente la definizione su cui si basa il mio prof. <----
Con \(r=0 \) abbiamo che \(a=u \in A^{\times} \) e \(a=v \prod_{j=1}^{s} q_j \)
\[ 1_A = u^{-1} v \prod_{j=1}^{s} q_j \]
dunque se \( s \geq 1 \) abbiamo che \(q_s \in A^{\times} \) contraddizione poiché è irriducibile!
Dunque \( s=0\), ed in questo caso abbiamo proprio l'unicità!
con \(r \geq 1 \)
\[ a = u \prod_{i=1}^{r} p_i = v \prod_{j=1}^{s} q_j \], se \( s \geq r \) abbiamo che \(q_1 \) è irreducibile e \(q_1 \mid a \) allora \(q_1 \mid p_1 u \prod_{i=2}^{r} p_i \). Dunque abbiamo che \(q_1 \mid p_1 \) oppure \(q_1 \mid u \prod_{i=2}^{r} p_i \) siccome \( (q_1) \) è primo. Nel primo caso allora \(p_1 \) è associato a \(q_1 \) siccome \(q_1\) irriducibile. Altrimenti nel secondo caso per ricorrenza troviamo un indice \( 2 \leq i \leq r \) tale che \(q_1 \mid p_i \), in entrambi i casi troviamo un \(p_i \) associato a \(q_1 \), per commutatività dell'anello diciamo che è \(p_1\).
Allora \(q_1 = wp_1\) e \(a=u \prod_{i=1}^{r} p_i = v w p_1 \prod_{j=2}^{s} q_j \), semplifichiamo dunque per \(p_1 \) e lo possiamo fare poiché un anello principale è un dominio d'integrità. Allora abbiamo che
\[ u \prod_{i=2}^{r} p_i = v w \prod_{j=2}^{s} q_j \]
e ci siamo ridotti a \(r-1\) e concludiamo per ipotesi di ricorrenza che \(r=s\) e che \(q_j \) sono associati 2 a 2 ai \(p_i \) per \( 2 \leq j \leq r \) e \( 2 \leq i \leq r \). Inoltre poiché \(p_1 \) è associato a \(q_1 \) concludiamo!
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