Sottogruppi di $D_n$
Ciao a tutti. Da un esercizio che stavo svolgendo mi è sorto questo desiderio: classificare e studiare la normalità dei gruppi diedrali e dei loro quozienti.
Allora, siccome un sottogruppo di $D_n$ è in particolare un sottogruppo finito del gruppo $G$ delle isometrie del piano, deve essere a sua volta o un gruppo ciclico di rotazioni, o un altro gruppo diedrale.
In particolare, $D_n=\langle R,y\rangle$ (dove $R^n=y^2=1$) contiene sempre \(C_{n/d}=\langle R^d\rangle\) con $d|n$, ovvero tutti i possibili sottogruppi formati esclusivamente da rotazioni.
Per quanto riguarda i sottogruppi di riflessioni, l'unico caso è il gruppo di ordine $2$ generato da $y$, in quanto il prodotto di due riflessioni $R^iy$ è sempre una rotazione.
L'ultimo caso, infine, è dato dai sottogruppi misti $\langle R^d, y\rangle$, corrispondenti ai gruppi diedrali \(D_{n/d}\). Gli unici permessi sono quelli per cui $d|n$, in quanto l'angolo di rotazione che genera $D_d$ deve appartenere a $D_n$, ovvero \(2\pi/d=2\pi k/n\).
Se tutto questo è corretto, vorrei capire a questo punto quali sono i sottogruppi normali, e la struttura dei conseguenti gruppi quoziente. I sottogruppi di rotazioni sono sempre normali, in quanto per ogni rotazione \(R^k \in C_{n/d}\) si ha \[R^iR^kR^{-i}=R^k\in C_{n/d}, \quad R^iyR^kyR^{-i}=R^{-k}\in C_{n/d}\] rispettivamente coniugando per rotazioni e per riflessioni in $D_n$.
Per quanto riguarda i sottogruppi di riflessioni, coniugando per $R^i$ si ottiene semplicemente l'identità, mentre coniugando per una riflessione si ottiene \(R^iyyyR^{-i}=R^{2i}y\); l'unico caso in cui si ha normalità è quindi quello banale di ${1,y}$.
Infine, se tutto ciò che ho scritto è corretto, abbiamo i sottogruppi misti. Qui mi serve una mano, perché non sono riuscito a trovare un risultato generale. Qualche consiglio?
Allora, siccome un sottogruppo di $D_n$ è in particolare un sottogruppo finito del gruppo $G$ delle isometrie del piano, deve essere a sua volta o un gruppo ciclico di rotazioni, o un altro gruppo diedrale.
In particolare, $D_n=\langle R,y\rangle$ (dove $R^n=y^2=1$) contiene sempre \(C_{n/d}=\langle R^d\rangle\) con $d|n$, ovvero tutti i possibili sottogruppi formati esclusivamente da rotazioni.
Per quanto riguarda i sottogruppi di riflessioni, l'unico caso è il gruppo di ordine $2$ generato da $y$, in quanto il prodotto di due riflessioni $R^iy$ è sempre una rotazione.
L'ultimo caso, infine, è dato dai sottogruppi misti $\langle R^d, y\rangle$, corrispondenti ai gruppi diedrali \(D_{n/d}\). Gli unici permessi sono quelli per cui $d|n$, in quanto l'angolo di rotazione che genera $D_d$ deve appartenere a $D_n$, ovvero \(2\pi/d=2\pi k/n\).
Se tutto questo è corretto, vorrei capire a questo punto quali sono i sottogruppi normali, e la struttura dei conseguenti gruppi quoziente. I sottogruppi di rotazioni sono sempre normali, in quanto per ogni rotazione \(R^k \in C_{n/d}\) si ha \[R^iR^kR^{-i}=R^k\in C_{n/d}, \quad R^iyR^kyR^{-i}=R^{-k}\in C_{n/d}\] rispettivamente coniugando per rotazioni e per riflessioni in $D_n$.
Per quanto riguarda i sottogruppi di riflessioni, coniugando per $R^i$ si ottiene semplicemente l'identità, mentre coniugando per una riflessione si ottiene \(R^iyyyR^{-i}=R^{2i}y\); l'unico caso in cui si ha normalità è quindi quello banale di ${1,y}$.
Infine, se tutto ciò che ho scritto è corretto, abbiamo i sottogruppi misti. Qui mi serve una mano, perché non sono riuscito a trovare un risultato generale. Qualche consiglio?
Risposte
"Tonno Sfortunato":
Allora, siccome un sottogruppo di $D_n$ è in particolare un sottogruppo finito del gruppo $G$ delle isometrie del piano, deve essere a sua volta o un gruppo ciclico di rotazioni, o un altro gruppo diedrale.
Questo non è vero, ad esempio $D_4$ contiene due sottogruppi isomorfi a $C_2\times C_2$, che quindi non sono nè diedrali nè ciclici.
That's bad news. Allora come me la posso cavare, se quello che ho scritto non esaurisce tutti i possibili casi?
vedi [url=https://math.stackexchange.com/questions/484828/normal-subgroups-of-dihedral-groups/484832#:~:text=Here%20is%20a%20nice%20answer,R2%2CRF%E2%9F%A9.]qua[/url].
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