Minimali, minimi, minoranti...

[Lugino123]

Salve a tutti, mi sto esercitando in vista di un esame e chiedo aiuto a voi per una traccia che richiede di studiare una relazione d'ordine. Prima di postarvi l'esercizio, vorrei chiedere dei chiarimenti sulle definizioni di minimo, minimale e minorante e provare a rifarlo da solo.
Facciamo così: Sia $ (S,rho ) $ un insieme ordinato, ordine largo.
Un elemento 'a' $ in $ S è minimo se e solo se $ AA x in S (a rho x) $
Un elemento 'c' $ in $ S, è minorante per un insieme $ Asube S $ se e solo se $ AA h in A (crho h) $

Ora i dubbi li ho sul minimale, per il quale ho due definizioni, e non so quale sia la migliore per gli esercizi:
1) Un elemento 'a' $ in $ S, è minimale per S se e solo se $ neg (EE b in S| brho a) $ (non trovavo il simbolo 'non esiste')
2) Un elemento 'a' $ in $ S, è minimale per S se e solo se $ (AA y in S)(yrho a rArr y = a) $

Io non so quale applicare, cioè data una relazione generica io non riesco sempre ad usare le definizioni, potete farmi qualche esempio?

[gugo82]

Proponi tu un esempio su cui non riesci a lavorare e spiega perché/dove trovi difficoltà.

[Lugino123]

"gugo82":Proponi tu un esempio su cui non riesci a lavorare e spiega perché/dove trovi difficoltà.

Sia $ S = Z xx N $
e rho una relazione d'ordine cosi definita:
$ (x, y) rho (z,t) : ((x,y) = (z,t) vv x^2 + y^2 < z^2 + t^2) $
Il minimo è (0,0).
Il massimo non esiste perchè si troverà sempre un (a+1, b+1) tale che se (a,b) è il massimo risulta (a,b) rho (a+1, b+1).
Allora se c'è il minimo quello è l'unico minimale, ma per i massimali non so come procedere

[gugo82]

Beh, vedila geometricamente.

L'insieme $ZZ xx NN$ si rappresenta come una quadrettatura del semipiano $y>=0$:

[asvg]ymin=0; ymax=10;
axes ("","");
dot([-5, 0]); dot([-4, 0]); dot([-3, 0]); dot([-2, 0]); dot([-1, 0]); dot([0, 0]); dot([1, 0]); dot([2, 0]); dot([3, 0]); dot([4, 0]); dot([5, 0]);
dot([-5, 1]); dot([-4, 1]); dot([-3, 1]); dot([-2, 1]); dot([-1, 1]); dot([0, 1]); dot([1, 1]); dot([2, 1]); dot([3, 1]); dot([4, 1]); dot([5, 1]);
dot([-5, 2]); dot([-4, 2]); dot([-3, 2]); dot([-2, 2]); dot([-1, 2]); dot([0, 2]); dot([1, 2]); dot([2, 2]); dot([3, 2]); dot([4, 2]); dot([5, 2]);
dot([-5, 3]); dot([-4, 3]); dot([-3, 3]); dot([-2, 3]); dot([-1, 3]); dot([0, 3]); dot([1, 3]); dot([2, 3]); dot([3, 3]); dot([4, 3]); dot([5, 3]);
dot([-5, 4]); dot([-4, 4]); dot([-3, 4]); dot([-2, 4]); dot([-1, 4]); dot([0, 4]); dot([1, 4]); dot([2, 4]); dot([3, 4]); dot([4, 4]); dot([5, 4]);
dot([-5, 5]); dot([-4, 5]); dot([-3, 5]); dot([-2, 5]); dot([-1, 5]); dot([0, 5]); dot([1, 5]); dot([2, 5]); dot([3, 5]); dot([4, 5]); dot([5, 5]); // uffa!

dot([-5, 6]); dot([-4, 6]); dot([-3, 6]); dot([-2, 6]); dot([-1, 6]); dot([0, 6]); dot([1, 6]); dot([2, 6]); dot([3, 6]); dot([4, 6]); dot([5, 6]);
dot([-5, 7]); dot([-4, 7]); dot([-3, 7]); dot([-2, 7]); dot([-1, 7]); dot([0, 7]); dot([1, 7]); dot([2, 7]); dot([3, 7]); dot([4, 7]); dot([5, 7]);
dot([-5, 8]); dot([-4, 8]); dot([-3, 8]); dot([-2, 8]); dot([-1, 8]); dot([0, 8]); dot([1, 8]); dot([2, 8]); dot([3, 8]); dot([4, 8]); dot([5, 8]);
dot([-5, 9]); dot([-4, 9]); dot([-3, 9]); dot([-2, 9]); dot([-1, 9]); dot([0, 9]); dot([1, 9]); dot([2, 9]); dot([3, 9]); dot([4, 9]); dot([5, 9]);
dot([-5, 10]); dot([-4, 10]); dot([-3, 10]); dot([-2, 10]); dot([-1, 10]); dot([0, 10]); dot([1, 10]); dot([2, 10]); dot([3, 10]); dot([4, 10]); dot([5, 10]); // assafà[/asvg]

Dire che $(x,y) rho (a,b)$ [risp. $(a,b) rho (x,y)$] con $(a,b) in ZZ xx NN$ fissato vuol dire che o il punto $P=(x,y)$ coincide con $A=(a,b)$ oppure che esso è interno [risp. esterno] al cerchio di centro $O=(0,0)$ e raggio $r=sqrt(a^2+b^2)$.
Quindi, ad esempio, se $(a,b) = (4,3)$, le coppie $(x,y) in ZZ xx NN$ tali che $(x,y) rho (a,b)$ [risp. $(a,b) rho (x,y)$] sono quelle corrispondenti ai punti interni (pallini azzurri) [risp. esterni (pallini arancioni)] al cerchio di centro $O$ e raggio $r=5$ o coincidenti con $A=(4,3)$ (pallino rosso); i pallini neri corrispondono a coppie che non sono $rho$-confrontabili con $(4,3)$.

[asvg]ymin=0; ymax=10;
axes ("","");

stroke="cadetblue"; strokewidth=2;
circle([0,0], 5);
stroke="dodgerblue";
dot([-4, 0]); dot([-3, 0]); dot([-2, 0]); dot([-1, 0]); dot([0, 0]); dot([1, 0]); dot([2, 0]); dot([3, 0]); dot([4, 0]);
dot([-4, 1]); dot([-3, 1]); dot([-2, 1]); dot([-1, 1]); dot([0, 1]); dot([1, 1]); dot([2, 1]); dot([3, 1]); dot([4, 1]);
dot([-4, 2]); dot([-3, 2]); dot([-2, 2]); dot([-1, 2]); dot([0, 2]); dot([1, 2]); dot([2, 2]); dot([3, 2]); dot([4, 2]);
dot([-3, 3]); dot([-3, 3]); dot([-2, 3]); dot([-1, 3]); dot([0, 3]); dot([1, 3]); dot([2, 3]); dot([3, 3]);
dot([-2, 4]); dot([-1, 4]); dot([0, 4]); dot([1, 4]); dot([2, 4]);

stroke="red";
dot([4, 3]);

stroke="black";
dot([-5, 0]); dot([5, 0]);
dot([-4, 3]);
dot([-3, 4]); dot([3, 4]);
dot([0, 5]); // uffa!

stroke="orange";
dot([-5, 1]); dot([5, 1]);
dot([-5, 2]); dot([5, 2]);
dot([-5, 3]); dot([5, 3]);
dot([-5, 4]); dot([-4, 4]); dot([4, 4]); dot([5, 4]);
dot([-5, 5]); dot([-4, 5]); dot([-3, 5]); dot([-2, 5]); dot([-1, 5]); dot([1, 5]); dot([2, 5]); dot([3, 5]); dot([4, 5]); dot([5, 5]);
dot([-5, 6]); dot([-4, 6]); dot([-3, 6]); dot([-2, 6]); dot([-1, 6]); dot([0, 6]); dot([1, 6]); dot([2, 6]); dot([3, 6]); dot([4, 6]); dot([5, 6]);
dot([-5, 7]); dot([-4, 7]); dot([-3, 7]); dot([-2, 7]); dot([-1, 7]); dot([0, 7]); dot([1, 7]); dot([2, 7]); dot([3, 7]); dot([4, 7]); dot([5, 7]);
dot([-5, 8]); dot([-4, 8]); dot([-3, 8]); dot([-2, 8]); dot([-1, 8]); dot([0, 8]); dot([1, 8]); dot([2, 8]); dot([3, 8]); dot([4, 8]); dot([5, 8]);
dot([-5, 9]); dot([-4, 9]); dot([-3, 9]); dot([-2, 9]); dot([-1, 9]); dot([0, 9]); dot([1, 9]); dot([2, 9]); dot([3, 9]); dot([4, 9]); dot([5, 9]);
dot([-5, 10]); dot([-4, 10]); dot([-3, 10]); dot([-2, 10]); dot([-1, 10]); dot([0, 10]); dot([1, 10]); dot([2, 10]); dot([3, 10]); dot([4, 10]); dot([5, 10]); // assafà[/asvg]

Da questa rappresentazione vedi tante cose.
Ad esempio, la $rho$ non è totale, poiché ogni coppia $(a,b) != (0,0)$ non è $rho$-confrontabile con almeno un’altra coppia (i.e., $(-a,b)$).
Inoltre, ti rendi conto che non ci sono coppie massimali rispetto a $rho$: infatti, scelta una coppia $(a,b)$, ogni coppia del tipo $(x,0)$ con $x>sqrt(a^2+b^2)$ è tale che $(a,b) rho (x,0)$, ma col cavolo che si ha $(x,0) = (a,b)$!