Logica e dimostrazione anello commutativo

[salmoiraghi]

Ciao

vorrei chiedere una delucidazione in merito alle note del professore:

Definizione: Sia A un anello commutativo, e siano $a,b in A$ Allora a e b si dicono associati se a
divide b e b divide a.

Oss: In un anello commutativo unitario A, per ogni $a in A$ , e per ogni elemento invertibile
$u in A$ , $a$ ed $au$ sono associati. Infatti è evidente che a divide au, e, d'altra parte, $a=a1=a(u u^-1)=(au)u^-1$ per cui au divide a. In un dominio d'integrità vale anche il viceversa

Tuttavia non mi torna questo ho: $au=b$ che equivale a $a|b$ e $a=bu^-1$ dice che $b|a$, posso quindi impostare la seguente tabella che riassumerebbe il teorema (che dovrebbe venire in ultima colonna tutto vero) ma:



Non capisco cosa sbaglio, però mi sembra proprio che la biimplicazione non implichi l'and.
Chiedo un aiuto per capire dove sto sbagliando.

[j18eos]

Pur'io ricordo che la coimplicazione non è equivalente alla congiunzione!

Elettronicamente (se non ricordo male): l'EXOR non è l'AND!

[salmoiraghi]

Grazie per la risposta, in effetti a questo punto mi chiedo: ma se quella tabella riassume il teorema enunciato, perché l'ultima colonna non viene tutta vera?
Non scovo proprio l'errore di impostazione che introduco

[j18eos]

Non ti trovi perché se "ambo i lati" di una coimplicazione sono falsi allora la coimplicazione è una preposizione(?) vera;

ma nel caso in discussione non puoi affermare che \(a\) e \(b\) si dividano oppure no!