Domanda fulminea su polinomi irriducibili
Ciao, leggendo la teoria di questa parte sui polinomi mi sono bloccato su un dubbio
Se mi trovassi in $ZZ[x]$ con $f=4x+4$ polinomio che non mi sembra per nulla irriducibile infatti se prendo $4(x+1)$ sua riscrittura noto che non tutti suoi divisori sono impropri: il 4 in $ZZ[x]$ è assolutamente non improprio e (x+1) è associato ad f. Ora, mi verrebbe da dire che $4(x+1)$ sia scomposto in irriducibili, tuttavia ponendoci maggior attenzione 4 non è irriducibile (forse, se non sbaglio).
E' quindi forse $2(2x+2)$ tale scomposizione?
Diverso è se avessi preso $7x+7$ come polinomio perché questo ovviamente essendo 7 primo si scrive come irriducibile come: $7(x+1)$ ma se il coefficente $a$ non è primo (come nel mio caso 4) non posso scrivere in generale $a(x+1)$ corretto? Devo trovare un modo per scrivere $2(2x+2)$ (o meglio in generale $b(cx+c)$) ad esempio. O forse potrei scomporlo come $2*2*(x+1)$ rendendo primi i coefficienti?
Sono un pochetto confuso sul da farsi all'atto pratico, come definizioni mi pare di esserci, come operatività direi di no
Se mi trovassi in $ZZ[x]$ con $f=4x+4$ polinomio che non mi sembra per nulla irriducibile infatti se prendo $4(x+1)$ sua riscrittura noto che non tutti suoi divisori sono impropri: il 4 in $ZZ[x]$ è assolutamente non improprio e (x+1) è associato ad f. Ora, mi verrebbe da dire che $4(x+1)$ sia scomposto in irriducibili, tuttavia ponendoci maggior attenzione 4 non è irriducibile (forse, se non sbaglio).
E' quindi forse $2(2x+2)$ tale scomposizione?
Diverso è se avessi preso $7x+7$ come polinomio perché questo ovviamente essendo 7 primo si scrive come irriducibile come: $7(x+1)$ ma se il coefficente $a$ non è primo (come nel mio caso 4) non posso scrivere in generale $a(x+1)$ corretto? Devo trovare un modo per scrivere $2(2x+2)$ (o meglio in generale $b(cx+c)$) ad esempio. O forse potrei scomporlo come $2*2*(x+1)$ rendendo primi i coefficienti?
Sono un pochetto confuso sul da farsi all'atto pratico, come definizioni mi pare di esserci, come operatività direi di no
Risposte
"ILjumpy":
Sono un pochetto confuso sul da farsi all'atto pratico, come definizioni mi pare di esserci, come operatività direi di no
L’operatività e le definizioni coincidono, a questo livello. Hai capito le definizioni se sai rispondere alle domande: $2$ è un polinomio irriducibile in $\mathbb Z[x]$? e $4$?
Infatti credo che l'esempio che mi sono creato autonomamente sia utile a capire a fondo le definizioni, esattamente come dici questo esempio riflette interamente i miei dubbi sulle definizioni.
Il punto è che 2 essendo primo è irriducibile come dicevo, 4 mi pare proprio di no.
Il motivo è che 2 in Z[x] è diverso dallo zero, sicuramente non stà negli invertibili e ha solo divisori impropri: se prendo un g|2 poichè siamo di fatto in un dominio il grado di g sarà nullo e quindi una costante, da ciò ne deduco che essendo 2 primo (come dicevo prima) allora g=1 o -1 e quindi è l'unico invertibile di Z e quindi verifica l'essere divisore improprio => ho provato l'irriducibilità.
Per 4 tale considerazione non vale, per questo mi sorge il dubbio su come scomporre:
Pongo quindi queste domande (di fondo sono 3 che ho numerato per comodità di lettura) per verificare se ho capito o meno, non sentendomi sicurissimo
EDITO: ok penso la 1 sia una stupidaggine perché a sua volta $(2x+2)$ non è irriducibile, resta quindi come unica possibilità scrivere un generico polinomio simile al nostro esempio come $a*b*...*(x+1)$ con a,b,... costanti e primi. Cioè in poche parole nell'esempio $2*2(x+1)$, right? O sbaglio ancora qualcosa che mi sfugge?
Il punto è che 2 essendo primo è irriducibile come dicevo, 4 mi pare proprio di no.
Il motivo è che 2 in Z[x] è diverso dallo zero, sicuramente non stà negli invertibili e ha solo divisori impropri: se prendo un g|2 poichè siamo di fatto in un dominio il grado di g sarà nullo e quindi una costante, da ciò ne deduco che essendo 2 primo (come dicevo prima) allora g=1 o -1 e quindi è l'unico invertibile di Z e quindi verifica l'essere divisore improprio => ho provato l'irriducibilità.
Per 4 tale considerazione non vale, per questo mi sorge il dubbio su come scomporre:
Se mi trovassi in $ZZ[x]$ con $f=4x+4$ polinomio che non mi sembra per nulla irriducibile infatti se prendo $4(x+1)$ sua riscrittura noto che non tutti suoi divisori sono impropri: il 4 in $ZZ[x]$ è assolutamente non improprio e (x+1) è associato ad f. Ora, mi verrebbe da dire che $4(x+1)$ sia scomposto in irriducibili, tuttavia ponendoci maggior attenzione 4 non è irriducibile (forse, se non sbaglio).
E' quindi forse $2(2x+2)$ tale scomposizione? (1)
Diverso è se avessi preso $7x+7$ come polinomio perché questo ovviamente essendo 7 primo si scrive come irriducibile come: $7(x+1)$ ma se il coefficente $a$ non è primo (come nel mio caso 4) non posso scrivere in generale $a(x+1)$ corretto (2)? Devo trovare un modo per scrivere $2(2x+2)$ (o meglio in generale $b(cx+c)$) ad esempio. O forse (3) potrei scomporlo come $2*2*(x+1)$ rendendo primi i coefficienti?
Pongo quindi queste domande (di fondo sono 3 che ho numerato per comodità di lettura) per verificare se ho capito o meno, non sentendomi sicurissimo
EDITO: ok penso la 1 sia una stupidaggine perché a sua volta $(2x+2)$ non è irriducibile, resta quindi come unica possibilità scrivere un generico polinomio simile al nostro esempio come $a*b*...*(x+1)$ con a,b,... costanti e primi. Cioè in poche parole nell'esempio $2*2(x+1)$, right? O sbaglio ancora qualcosa che mi sfugge?
"ILjumpy":
Cioè in poche parole nell'esempio $2*2(x+1)$, right?
Mille grazie hydro, e buon natale a te!
Nel frattempo mi sono sorte le seguenti due domande che mi piacerebbe fugare del tutto: io ho $f=7(x+1)=7x+7$ che se ho ben capito è l'entità che chiamo lo stesso polinomio f ((1) o devo considerare le due scritture polinomi differenti?) se io mi trovassi in Q[x] anziché Z[x], stavolta è un campo, a questo punto $f=7(x+1)$ non è più una scomposizione in irriducibili... vorrei fare le seguenti considerazioni:
Quello che mi confonde è l'affermazione "ogni polinomio di grado 1 è irriducibile su un campo", quindi $f=7(x+1)$ scritto così è di grado 1 ed è un plinomio irriducibile. (2) Tutttavia non è una scomposizione in irriducibili di f non essendo 7 (che è invertibile) riducibile. Vorrei capire se ho compreso bene la faccenda
Quello che mi confonde è l'affermazione "ogni polinomio di grado 1 è irriducibile su un campo", quindi $f=7(x+1)$ scritto così è di grado 1 ed è un plinomio irriducibile. (2) Tutttavia non è una scomposizione in irriducibili di f non essendo 7 (che è invertibile) riducibile. Vorrei capire se ho compreso bene la faccenda
Non vedo quale sia il problema, $7$ è invertibile e $x+1$ è irriducibile. Ricorda che la scomposizione in fattori irriducibili è unica a meno di invertibili.
Non so credo mi confonda il fatto che 7 non fosse irriducibile quindi non consideravo una scomposizione in irriducibili, mentre invace è in irriducibili perché x+1 è associato a 7x+7 in sostanza.
"ILjumpy":
Non so credo mi confonda il fatto che 7 non fosse irriducibile quindi non consideravo una scomposizione in irriducibili, mentre invace è in irriducibili perché x+1 è associato a 7x+7 in sostanza.
Qual è la tua definizione di "scomposizione in irriducibili"?
@hydro cerco di spiegare cosa mi confonde rispondendo alla tua domanda mirata
Il teorema di fattorizzazione unica dice che in un campo un polinomio f(x) si può scrivere come prodotto di irriducibili. Dunque data la scrittura $f=p_1...p_n=g_1...g_m$ m=n e a meno di permutazioni dei fattori ho pi associato a gi.
Ora scomponiamo in due modi $f=7x+7=7(x+1)$ il teorema dice che la scomposizione è unica a meno di associati, $x+1$ è associato a $7x+7$ poiché moltiplicando per un invertibile 7 ci portiamo dall'uno all'altro.
Tuttavia $f=7(x+1)$ non è una scomposizione in irriducibili perché 7 non è appunto irriducibile, una scomposizione in irriducibili sarebbe la scrittura $x+1$.
Tuttavia ora non è vero che $f=7x+7=x+1$: x+1 è associato a 7x+7 ma non ho una stessa scomposizione perché $x+1!=f$.
per questo mi sembra di dover dire che $f=7x+7$ è la sola scomposizione possibile in tal caso, mentre mi sembra che tu mi stia suggedendo che anche $f=7(x+1)$ lo sia, ma non capisco perché non essendo 7 irriducibile.
Il teorema di fattorizzazione unica dice che in un campo un polinomio f(x) si può scrivere come prodotto di irriducibili. Dunque data la scrittura $f=p_1...p_n=g_1...g_m$ m=n e a meno di permutazioni dei fattori ho pi associato a gi.
Ora scomponiamo in due modi $f=7x+7=7(x+1)$ il teorema dice che la scomposizione è unica a meno di associati, $x+1$ è associato a $7x+7$ poiché moltiplicando per un invertibile 7 ci portiamo dall'uno all'altro.
Tuttavia $f=7(x+1)$ non è una scomposizione in irriducibili perché 7 non è appunto irriducibile, una scomposizione in irriducibili sarebbe la scrittura $x+1$.
Tuttavia ora non è vero che $f=7x+7=x+1$: x+1 è associato a 7x+7 ma non ho una stessa scomposizione perché $x+1!=f$.
per questo mi sembra di dover dire che $f=7x+7$ è la sola scomposizione possibile in tal caso, mentre mi sembra che tu mi stia suggedendo che anche $f=7(x+1)$ lo sia, ma non capisco perché non essendo 7 irriducibile.
No ok sono d'accordo con te allora, se la tua definizione è quella allora $7\cdot (x+1)$ non va bene.
Ah ok perfetto, grazie. Mi ero solo imbarcato in un problema di definizioni quindi 
.
Quindi risolto ciò rimande l'altro ultimo dubbio piuttosto banale che avevo scritto qualche post fa: io definisco $f=7x+7$ come polinomio poiché elemento delle serie formali avendi un grado massimo dopo le quali ogni termine è nullo. Mentre $f=7(x+1)$ è un polinomio? Da definizione non mi pare, lo definirei piuttosto un prodotto di polinomi (problema di nomenclatura). Poiché un polinomio dovrebbe essere della forma $a_0+a_1x+...+a_nx^n$ cosa che $7(x+1)$ non è.
Mi servirebbe capire questo che pur essendo banale non mi torna (cioè se chiamare 7(x+1) polinomio) perché in realtà mi sembra sia di poterlo chiamare polinomio che no e va bene tutto in ongi caso, mi spiego con un es:
- $f=7(x+1)$ se è un polinomio è irriducibile essendo di grado 1 per il noto teorema, in effetti se prendo due divisori che sono 7 e x+1 sono impropri, come deve essere8Ma lo è un polinomio, secondo me no).
- Quindi se $f=7(x+1)$ non è un polinomio, am un prodotto di polinomi, allora potrei scrivere $f=7x+7$ questo invece è un polinomio, ed è irriducibile, infatti ad esempio due qualunuque suoi divisori, ad esempio quelli della sua prima scrittura: 7 e x+1 sono infatti impropri.
Quindi insomma il dubbio che permane in me è che 7(x+1) non mi pare corretto chiamarlo polinomio, ma in realtà anche chiamandolo polinomio va bene perché è di primo grado e irriducibile.
.Quindi risolto ciò rimande l'altro ultimo dubbio piuttosto banale che avevo scritto qualche post fa: io definisco $f=7x+7$ come polinomio poiché elemento delle serie formali avendi un grado massimo dopo le quali ogni termine è nullo. Mentre $f=7(x+1)$ è un polinomio? Da definizione non mi pare, lo definirei piuttosto un prodotto di polinomi (problema di nomenclatura). Poiché un polinomio dovrebbe essere della forma $a_0+a_1x+...+a_nx^n$ cosa che $7(x+1)$ non è.
Mi servirebbe capire questo che pur essendo banale non mi torna (cioè se chiamare 7(x+1) polinomio) perché in realtà mi sembra sia di poterlo chiamare polinomio che no e va bene tutto in ongi caso, mi spiego con un es:
- $f=7(x+1)$ se è un polinomio è irriducibile essendo di grado 1 per il noto teorema, in effetti se prendo due divisori che sono 7 e x+1 sono impropri, come deve essere8Ma lo è un polinomio, secondo me no).
- Quindi se $f=7(x+1)$ non è un polinomio, am un prodotto di polinomi, allora potrei scrivere $f=7x+7$ questo invece è un polinomio, ed è irriducibile, infatti ad esempio due qualunuque suoi divisori, ad esempio quelli della sua prima scrittura: 7 e x+1 sono infatti impropri.
Quindi insomma il dubbio che permane in me è che 7(x+1) non mi pare corretto chiamarlo polinomio, ma in realtà anche chiamandolo polinomio va bene perché è di primo grado e irriducibile.
L'insieme dei polinomi a coefficienti in un anello fissato è a sua volta un anello, quindi il prodotto di polinomi è un polinomio.
Sì certo lo è, però non capisco se chiamare già $7(x+1)$ polinomio o se chiamare $7x+7$ polinomio come risultato del prodotto, dalle tue parole mi sembra di capire quindi che già $7(x+1)$ sia un ploinomio e che per le considerazioni di cui sopra posso affermare che:
"è irriducibile essendo di grado 1 per il noto teorema, in effetti se prendo due divisori che sono 7 e x+1 sono impropri, come deve essere".
"è irriducibile essendo di grado 1 per il noto teorema, in effetti se prendo due divisori che sono 7 e x+1 sono impropri, come deve essere".
Scusa non capisco, hai due cose A e B e sai che
1. A è un polinomio
2. A=B
Mi sembra logico dedurre che B è un polinomio. Per definizione di uguaglianza.
1. A è un polinomio
2. A=B
Mi sembra logico dedurre che B è un polinomio. Per definizione di uguaglianza.
Sì, ma mi stona il fatto che per quanto finora detto $f=7(x+1)$ è irriducibile, ed è un prodotto di polinomi 7 e x+1 ed è anche un polinomio a sua volta preso nel suo complesso come 7(x+1), tuttavia non è prodotto di irriducibili non essendolo 7. Mi aspettavo in un certo senso ogni irriducibile (quale 7(x+1) è) fosse o irriducibile o prodotto di irriducibili.
Cioè viene da qui il dubbio, non so se ho chiarito meglio quello che mi affligge. Mi aggrovigliavo in questo discorso.
Cioè viene da qui il dubbio, non so se ho chiarito meglio quello che mi affligge. Mi aggrovigliavo in questo discorso.
È irriducibile quindi è prodotto di $n=1$ irriducibili. È associato a $x+1$.
Ok ma come dicevo con hydro
il fatto che sia associato a $x+1$ non vuol dire che $7(x+1)$ sia una scomposizione in irriducibili di $f=7x+7$, poché di fatto 7 non è irriducibile.
"hydro":
No ok sono d'accordo con te allora, se la tua definizione è quella allora $7\cdot (x+1)$ non va bene.
il fatto che sia associato a $x+1$ non vuol dire che $7(x+1)$ sia una scomposizione in irriducibili di $f=7x+7$, poché di fatto 7 non è irriducibile.
Esatto. Quindi? Non capisco se la cosa ti si è chiarita.
Diciamo che mi si è chiarito se è corretto dire: "f=7(x+1) è polinomio irriducibile, ed è un prodotto di polinomi 7 e x+1 prodotto di non irriducibili non essendolo 7". 
Perché vorrebbe dire che non sto sparando c@xxttte
Perché vorrebbe dire che non sto sparando c@xxttte
Esatto, il fattore $7$ non è irriducibile. Ma quello che scrivi, pur essendo corretto, non è una dimostrazione del fatto che $7x+7$ è irriducibile. Una dimostrazione si ottiene supponendo che $7x+7 = P(x)Q(x)$ e deducendo che almeno uno tra $P(x)$ e $Q(x)$ ha grado zero. Questo si fa ricordando che il grado di un prodotto è la somma dei gradi (questo vale, tra gli altri casi, negli anelli di polinomi $A[X]$ quando $A$ è un dominio di integrità).
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