Domanda fulminea su polinomi irriducibili

ILjumpy
Ciao, leggendo la teoria di questa parte sui polinomi mi sono bloccato su un dubbio

Se mi trovassi in $ZZ[x]$ con $f=4x+4$ polinomio che non mi sembra per nulla irriducibile infatti se prendo $4(x+1)$ sua riscrittura noto che non tutti suoi divisori sono impropri: il 4 in $ZZ[x]$ è assolutamente non improprio e (x+1) è associato ad f. Ora, mi verrebbe da dire che $4(x+1)$ sia scomposto in irriducibili, tuttavia ponendoci maggior attenzione 4 non è irriducibile (forse, se non sbaglio).

E' quindi forse $2(2x+2)$ tale scomposizione?
Diverso è se avessi preso $7x+7$ come polinomio perché questo ovviamente essendo 7 primo si scrive come irriducibile come: $7(x+1)$ ma se il coefficente $a$ non è primo (come nel mio caso 4) non posso scrivere in generale $a(x+1)$ corretto? Devo trovare un modo per scrivere $2(2x+2)$ (o meglio in generale $b(cx+c)$) ad esempio. O forse potrei scomporlo come $2*2*(x+1)$ rendendo primi i coefficienti?

Sono un pochetto confuso sul da farsi all'atto pratico, come definizioni mi pare di esserci, come operatività direi di no :)

Risposte
hydro1
"ILjumpy":

Sono un pochetto confuso sul da farsi all'atto pratico, come definizioni mi pare di esserci, come operatività direi di no :)

L’operatività e le definizioni coincidono, a questo livello. Hai capito le definizioni se sai rispondere alle domande: $2$ è un polinomio irriducibile in $\mathbb Z[x]$? e $4$?

ILjumpy
Infatti credo che l'esempio che mi sono creato autonomamente sia utile a capire a fondo le definizioni, esattamente come dici questo esempio riflette interamente i miei dubbi sulle definizioni.

Il punto è che 2 essendo primo è irriducibile come dicevo, 4 mi pare proprio di no.
Il motivo è che 2 in Z[x] è diverso dallo zero, sicuramente non stà negli invertibili e ha solo divisori impropri: se prendo un g|2 poichè siamo di fatto in un dominio il grado di g sarà nullo e quindi una costante, da ciò ne deduco che essendo 2 primo (come dicevo prima) allora g=1 o -1 e quindi è l'unico invertibile di Z e quindi verifica l'essere divisore improprio => ho provato l'irriducibilità.
Per 4 tale considerazione non vale, per questo mi sorge il dubbio su come scomporre:

Se mi trovassi in $ZZ[x]$ con $f=4x+4$ polinomio che non mi sembra per nulla irriducibile infatti se prendo $4(x+1)$ sua riscrittura noto che non tutti suoi divisori sono impropri: il 4 in $ZZ[x]$ è assolutamente non improprio e (x+1) è associato ad f. Ora, mi verrebbe da dire che $4(x+1)$ sia scomposto in irriducibili, tuttavia ponendoci maggior attenzione 4 non è irriducibile (forse, se non sbaglio).

E' quindi forse $2(2x+2)$ tale scomposizione? (1)
Diverso è se avessi preso $7x+7$ come polinomio perché questo ovviamente essendo 7 primo si scrive come irriducibile come: $7(x+1)$ ma se il coefficente $a$ non è primo (come nel mio caso 4) non posso scrivere in generale $a(x+1)$ corretto (2)? Devo trovare un modo per scrivere $2(2x+2)$ (o meglio in generale $b(cx+c)$) ad esempio. O forse (3) potrei scomporlo come $2*2*(x+1)$ rendendo primi i coefficienti?


Pongo quindi queste domande (di fondo sono 3 che ho numerato per comodità di lettura) per verificare se ho capito o meno, non sentendomi sicurissimo :)

EDITO: ok penso la 1 sia una stupidaggine perché a sua volta $(2x+2)$ non è irriducibile, resta quindi come unica possibilità scrivere un generico polinomio simile al nostro esempio come $a*b*...*(x+1)$ con a,b,... costanti e primi. Cioè in poche parole nell'esempio $2*2(x+1)$, right? O sbaglio ancora qualcosa che mi sfugge? :)

hydro1
"ILjumpy":
Cioè in poche parole nell'esempio $2*2(x+1)$, right?

:smt023

ILjumpy
Mille grazie hydro, e buon natale a te! :)

ILjumpy
Nel frattempo mi sono sorte le seguenti due domande che mi piacerebbe fugare del tutto: io ho $f=7(x+1)=7x+7$ che se ho ben capito è l'entità che chiamo lo stesso polinomio f ((1) o devo considerare le due scritture polinomi differenti?) se io mi trovassi in Q[x] anziché Z[x], stavolta è un campo, a questo punto $f=7(x+1)$ non è più una scomposizione in irriducibili... vorrei fare le seguenti considerazioni:

Quello che mi confonde è l'affermazione "ogni polinomio di grado 1 è irriducibile su un campo", quindi $f=7(x+1)$ scritto così è di grado 1 ed è un plinomio irriducibile. (2) Tutttavia non è una scomposizione in irriducibili di f non essendo 7 (che è invertibile) riducibile. Vorrei capire se ho compreso bene la faccenda

hydro1
Non vedo quale sia il problema, $7$ è invertibile e $x+1$ è irriducibile. Ricorda che la scomposizione in fattori irriducibili è unica a meno di invertibili.

ILjumpy
Non so credo mi confonda il fatto che 7 non fosse irriducibile quindi non consideravo una scomposizione in irriducibili, mentre invace è in irriducibili perché x+1 è associato a 7x+7 in sostanza.

hydro1
"ILjumpy":
Non so credo mi confonda il fatto che 7 non fosse irriducibile quindi non consideravo una scomposizione in irriducibili, mentre invace è in irriducibili perché x+1 è associato a 7x+7 in sostanza.


Qual è la tua definizione di "scomposizione in irriducibili"?

ILjumpy
@hydro cerco di spiegare cosa mi confonde rispondendo alla tua domanda mirata :)

Il teorema di fattorizzazione unica dice che in un campo un polinomio f(x) si può scrivere come prodotto di irriducibili. Dunque data la scrittura $f=p_1...p_n=g_1...g_m$ m=n e a meno di permutazioni dei fattori ho pi associato a gi.

Ora scomponiamo in due modi $f=7x+7=7(x+1)$ il teorema dice che la scomposizione è unica a meno di associati, $x+1$ è associato a $7x+7$ poiché moltiplicando per un invertibile 7 ci portiamo dall'uno all'altro.
Tuttavia $f=7(x+1)$ non è una scomposizione in irriducibili perché 7 non è appunto irriducibile, una scomposizione in irriducibili sarebbe la scrittura $x+1$.
Tuttavia ora non è vero che $f=7x+7=x+1$: x+1 è associato a 7x+7 ma non ho una stessa scomposizione perché $x+1!=f$.

per questo mi sembra di dover dire che $f=7x+7$ è la sola scomposizione possibile in tal caso, mentre mi sembra che tu mi stia suggedendo che anche $f=7(x+1)$ lo sia, ma non capisco perché non essendo 7 irriducibile.

hydro1
No ok sono d'accordo con te allora, se la tua definizione è quella allora $7\cdot (x+1)$ non va bene.

ILjumpy
Ah ok perfetto, grazie. Mi ero solo imbarcato in un problema di definizioni quindi :-D.

Quindi risolto ciò rimande l'altro ultimo dubbio piuttosto banale che avevo scritto qualche post fa: io definisco $f=7x+7$ come polinomio poiché elemento delle serie formali avendi un grado massimo dopo le quali ogni termine è nullo. Mentre $f=7(x+1)$ è un polinomio? Da definizione non mi pare, lo definirei piuttosto un prodotto di polinomi (problema di nomenclatura). Poiché un polinomio dovrebbe essere della forma $a_0+a_1x+...+a_nx^n$ cosa che $7(x+1)$ non è.

Mi servirebbe capire questo che pur essendo banale non mi torna (cioè se chiamare 7(x+1) polinomio) perché in realtà mi sembra sia di poterlo chiamare polinomio che no e va bene tutto in ongi caso, mi spiego con un es:
- $f=7(x+1)$ se è un polinomio è irriducibile essendo di grado 1 per il noto teorema, in effetti se prendo due divisori che sono 7 e x+1 sono impropri, come deve essere8Ma lo è un polinomio, secondo me no).
- Quindi se $f=7(x+1)$ non è un polinomio, am un prodotto di polinomi, allora potrei scrivere $f=7x+7$ questo invece è un polinomio, ed è irriducibile, infatti ad esempio due qualunuque suoi divisori, ad esempio quelli della sua prima scrittura: 7 e x+1 sono infatti impropri.

Quindi insomma il dubbio che permane in me è che 7(x+1) non mi pare corretto chiamarlo polinomio, ma in realtà anche chiamandolo polinomio va bene perché è di primo grado e irriducibile.

hydro1
L'insieme dei polinomi a coefficienti in un anello fissato è a sua volta un anello, quindi il prodotto di polinomi è un polinomio.

ILjumpy
Sì certo lo è, però non capisco se chiamare già $7(x+1)$ polinomio o se chiamare $7x+7$ polinomio come risultato del prodotto, dalle tue parole mi sembra di capire quindi che già $7(x+1)$ sia un ploinomio e che per le considerazioni di cui sopra posso affermare che:
"è irriducibile essendo di grado 1 per il noto teorema, in effetti se prendo due divisori che sono 7 e x+1 sono impropri, come deve essere".

Martino
Scusa non capisco, hai due cose A e B e sai che

1. A è un polinomio
2. A=B

Mi sembra logico dedurre che B è un polinomio. Per definizione di uguaglianza.

ILjumpy
Sì, ma mi stona il fatto che per quanto finora detto $f=7(x+1)$ è irriducibile, ed è un prodotto di polinomi 7 e x+1 ed è anche un polinomio a sua volta preso nel suo complesso come 7(x+1), tuttavia non è prodotto di irriducibili non essendolo 7. Mi aspettavo in un certo senso ogni irriducibile (quale 7(x+1) è) fosse o irriducibile o prodotto di irriducibili.
Cioè viene da qui il dubbio, non so se ho chiarito meglio quello che mi affligge. Mi aggrovigliavo in questo discorso.

Martino
È irriducibile quindi è prodotto di $n=1$ irriducibili. È associato a $x+1$.

ILjumpy
Ok ma come dicevo con hydro
"hydro":
No ok sono d'accordo con te allora, se la tua definizione è quella allora $7\cdot (x+1)$ non va bene.

il fatto che sia associato a $x+1$ non vuol dire che $7(x+1)$ sia una scomposizione in irriducibili di $f=7x+7$, poché di fatto 7 non è irriducibile.

Martino
Esatto. Quindi? Non capisco se la cosa ti si è chiarita.

ILjumpy
Diciamo che mi si è chiarito se è corretto dire: "f=7(x+1) è polinomio irriducibile, ed è un prodotto di polinomi 7 e x+1 prodotto di non irriducibili non essendolo 7". :lol:

Perché vorrebbe dire che non sto sparando c@xxttte :-D

Martino
Esatto, il fattore $7$ non è irriducibile. Ma quello che scrivi, pur essendo corretto, non è una dimostrazione del fatto che $7x+7$ è irriducibile. Una dimostrazione si ottiene supponendo che $7x+7 = P(x)Q(x)$ e deducendo che almeno uno tra $P(x)$ e $Q(x)$ ha grado zero. Questo si fa ricordando che il grado di un prodotto è la somma dei gradi (questo vale, tra gli altri casi, negli anelli di polinomi $A[X]$ quando $A$ è un dominio di integrità).

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