Sempre dagli appunti sui sottogruppi normali

[fegem]

Sempre dagli appunti.
" I sottogruppi normali servono per fare i quozienti e, in particolare, sono i nuclei degli omomorfismi"
La prima parte oltre a significare che i sottogruppi normali ripartiscono il gruppo in classi e quindi posso pensare al quoziente, cosa vuole dirmi?
La seconda parte invece sta ad indicare che se ho un omomorfismo di gruppi da G in G' allora andrò a ricercare il ker dell'omomorfismo tra i sottogruppi normali di G, giusto?

[Pappappero1]

La cosa fondamentale e' che i laterali di un sottogruppo normale formano un gruppo. In effetti, se $H$ e' sottogruppo di $G$ allora i laterali sinistri (e anche quelli destri) di $H$ in $G$ formano una partizione di $G$ (e non serve la normalita'), ma in generale questo insieme di laterali non forma un gruppo! Se invece $H$ e' normale ci sono due conseguenze: $gH = Hg$, cioe' il laterale destro e quello sinistro corrispondente a $g$ sono uguali; e \(G/H\) e' un gruppo, cioe' e' ben definita l'operazione
\[
g_1 H \cdot g_2 H = g_1g_2 H .
\]
Infatti questa operazione non e' ben definita se $H$ non e' normale.
Per la seconda parte, non c'e' molto da aggiungere. Ogni sottogruppo normale $H$ di $G$ e' kernel del morfismo \(G \to G/H\) definito da \( g \mapsto gH \). Viceversa, si puo' dimostrare che il kernel di ogni morfismo di gruppi e' un sottogruppo normale.

[fegem]

Grazie mille per il chiarimento!