Principio di induzione sui numeri di Fibonacci
Salve,
Dovrei dimostrare la seguente relazione:
$F_h>c^h$ con $c>1$ e $h>2$.
Credo di doverlo dimostrare con il principio di induzione su $h$. Inoltre il libro mi dice che $F_h>(\phi^h-1)/sqrt(5)$
Per quanto riguarda la base, credo basti trovare una $c$ per cui $F_h>(\phi^3-1)/sqrt(5)>c^3$. Giusto?
Per quanto riguarda il passo induttivo, devo supporre vera l'affermazione per $F_(h-1)$ e $F_(h-2)$. Quindi:
$F_h=F_(h-1)+F_(h-2)>c^(h-1)+c^(h-2)$. Però qui mi blocco. Come faccio a dire che $c^(h-1)+c^(h-2)>c^h$?
Grazie
Dovrei dimostrare la seguente relazione:
$F_h>c^h$ con $c>1$ e $h>2$.
Credo di doverlo dimostrare con il principio di induzione su $h$. Inoltre il libro mi dice che $F_h>(\phi^h-1)/sqrt(5)$
Per quanto riguarda la base, credo basti trovare una $c$ per cui $F_h>(\phi^3-1)/sqrt(5)>c^3$. Giusto?
Per quanto riguarda il passo induttivo, devo supporre vera l'affermazione per $F_(h-1)$ e $F_(h-2)$. Quindi:
$F_h=F_(h-1)+F_(h-2)>c^(h-1)+c^(h-2)$. Però qui mi blocco. Come faccio a dire che $c^(h-1)+c^(h-2)>c^h$?
Grazie
Risposte
Poiché $\root[h]{\frac{\phi^h-1}{\sqrt{5}}}>1$ per ogni $h >2$ e $\lim_{h \rightarrow +\infty}\root[h]{\frac{\phi^h-1}{\sqrt{5}}}=\phi>1$, basta prendere $c:=Inf_{h} \root[h]{\frac{\phi^h-1}{\sqrt{5}}}$
Quindi è inutile provarlo con il principio di induzione?
No anzi credo che si possa fare anche per induzione, prova a prendere $c=\root[3]{\frac{\phi^3-1}{\sqrt{5}}}$ e fai vedere che (sotto ipotesi induttiva) vale $\frac{\phi^{h+1}-1}{\sqrt{5}}>\frac{\phi^{h}-1}{\sqrt{5}}c>c^{h+1}$
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