Finale giochi matematici 2013 categoria L1 (2°,3°e 4° superiore)
l'11 Maggio si è svolta alla Bocconi la finale Nazionale dei giochi matematici.
Anche quest'anno mi sono classificato tra i primi 10% della mia sede e quindi ho potuto partecipare.
Ho cercato un pò on-line le soluzioni, per vedere un pò i miei errori, ma da nessuna parte sono stati pubblicati i testi, ho scritto allora sulla pagina facebook del centro Pristem, e mi hanno risposto che i testi e le soluzioni saranno disponibili solo sulla prossima uscita della loro rivista Alice e Bob...
Quindi eccovi i testi della mia categoria, per dei cervelloni come voi non dovrebbero essere difficili, casomai vogliate posso aggiungere anche quelli delle categorie superiori.
EDIT: visto che li richiedete eccovi anche quelli delle altre categorie
DA 1 A 6
Collocate i numeri 2,3,4,6 nelle quattro caselle vuote della striscia. Attenzione, però: se due numeri (compresi 1 e 5) compaiono in due caselle vicine, devono essere numeri consecutivi (come ad esempio 4 e 3 oppure 5 e 6) o essere l'uno il doppio dell'altro.
1 _ _ _ _ 5
I DADI DELL'ANNO
Sulle facce di quattro dati identici sono riportate le cifre 0,1,2,3,4,5. Facce opposte hanno sempre cifre la cui somma vale 5. Carla legge il numero 2013 sui dadi collocati davanti a lei.
Quale numero leggerà Milena se si trova davanti a Carla e vede le facce opposte dei quattro dadi?
LA DIFFERENZA PIù GRANDE CHE SI PUò
Jacopo si diverte a scrivere tutti i numeri di otto cifre come 11052013 che utilizzano due 0, tre 1, un 2, e un 5. Poi sottrae il più piccolo di questi numeri dal più grande di loro.
Quale risultato ottiene (tenendo presente che un numero non comincia mai con la cifra 0)?
UNA STRANA MEMORIA
Anna ha comprato un regalo per ciascuno dei suoi 4 cuginetti. Non ha badato a spese, come si dice, ma non ricorda qual era il prezzo dei vari regali. Si ricorda però che per i primi tre cuginetti ha speso complessivamente 2013€; per il primo, il secondo e il quarto ha speso complessivamente 2031€; per il primo, il terzo e il quarto ha speso complessivamente 2103€ mentre la spesa complessiva dei regali destinati al secondo, terzo e quarto cuginetto è stata di 2301€.
Quanto ha speso Anna per il primo dei suoi cuginetti?
NUMERI ALLO SPECCHIO
Un numero di tre cifre (non nullo) è riportato sulla t-shirt di Luca, con le cifre che sono disegnate come in figura (la figura è inutile postarla, sono quei numeri fatti con le stecchette tipo tabellone di calcio
Quale numero Luca vede allo specchio? (Tenete presente che i fabbricanti di t-shirt non sono molto competenti in matematica e tra l'altro non sanno che un numero di più cifre non può cominciare con un solo 0)
IL COMPLEANNO
Quando si scrivono il giorno e il mese in cui è nato Renato ricorrendo a quattro cifre, due per il giorno e due per il mese (ad esempio l'11 maggio si scrive 11.05), non si usano mai le cifre 4,5,6,7,8,9.
Quante date di comlpeanno (giorno e mese) si possono scrivere, rispettando la stessa condizione?
UN VIAGGIO ATTORNO AL PIANETA
Sul pianeta della figura ci sono sei città, ciascuna indicata con una lettera e dotata di un aereoporto. Due aereoporti vicini (secondo i percorsi segnati in figura) hanno sempre la stessa distanza tra loro. Desiderio è un ricco eccentrico che viaggia con il suo aereo privato. Parte da A verso B e, raggiuntolo, gira verso destra di 90° dirigendosi verso E. Qui gira verso sinistra sempre di 90° e così via... alternando una "girata" a destra e una a sinistra, sempre di 90°, ogniqualvolta raggiunge un aereoporto.
Qual'è la distanza tra due aereoporti vicini sapendo che Desiderio, quando è tornato in A per la primas volta, aveva percorso 45000 km?
AI MINIMI TERMINI
Amerigo vuole dividere il blocco che vedete in figura nei suoi 21 cubetti (tutti uguali tra loro). Con qianti tagli (rettilinei) al minimo può ottenere i 21 cubetti, sapendo che tra un taglio e l'altro può risistemare i pezzi ottenuti come vuole?
RICCHEZZE AGRICOLE
Angelo possiede tre prati quadrati, i cui lati sono misurati da un numero intero di decametri. la somma delle aree dei tre prati vale 222 dam^2.
Quanto misurano i lati dei tre prati?
PER 11 E PER 13
Il numero intero positivo scelto da Debora è divisibile per 11; quello scelto da Liliana è divisibile per 13. La loro somma è uguale a 316.
Quanto vale il numero scelto da Debora?
UN, DUE, TRE
Nando possiede un gran numero di gettoni su ciascuno dei quali è riportata una delle cifre: 1,2,3. Allineando alcuni di questi gettoni, forma un numero per il quale i numeri di due cifre formati da due gettoni affiancati sono sempre diversi tra loro.
Quanti gettoni ha utilizzato Nando al massimo
IL TRAPEZIO
La base maggiore di un trapezio misura 18 cm. Un lato obliquo misura 5cm mentre gli altri suoi due lati misurano (in ordine crescente) 6 cm e 13cm.
Quanto misura in cm l'altezza?
IL NUMERO MISTERIOSO
Il nostro numero misterioso è un numero intero positivo tale che:
-se gli si sottrae 7, il risultato è divisibile per 6;
- se gli si sottrae 8, il risultato è divisibile per 7:
-se gli si sottrae 9, il risultato è divisibile per 8;
-se gli si sottrae 10, il risultato è divisibile per 9.
Qual'è il più grande numero minore di 2013 che soddisfa tutte queste proprietà?
TANTE TESTE
Gian Italo si diverte a lanciare in aria una moneta 1 Euro e a prendere nota se esce testa (T) o croce (C). nella serie di C e di T che scrive, i risultati di quattro lanci consecutivi sono tutti differenti tra loro e alla fine il numero delle teste è il triplo di quello delle croci.
Quanti lanci della moneta ha compiuto al massimo Gian Italo
TRE NUMERI CONSECUTIVI
Ciascuno dei numeri 2013,2014, e 2015 possiede otto divisori.
Quali sono i primi tre numeri interi naturali consecutivi che possiedono lo stesso numero di divisori (Non necessariamente otto)
SONO PRIMI
Il prodotto di tre numeri primi è uguale a 19 volte la loro somma.
Quali sono questi tre numeri?
Una ghirlanda elettrica
La nostra ghirlanda elettrica, circolare, possiede 9 lampadine inizialmente tutte accese. A partire da una lampadina scelta come iniziale, un segnale si propaga da una lampadina alla successiva, sempre nello stesso verso (quando è passato per tutte le lampadine raggiunge quella iniziale e così via).
Un'operazione consiste appunto nel far passare il segnale da una lampadina alla successiva tenendo conto che:
-se la lampadina da cui il segnale parte è accesa, allora la successiva cambia stato;
-se la lampadina da cui il segnale parte è spenta, allora la successiva verso cui si dirige non cambia stato.
Dopo quante operazioni, al minimo, le lampadine saranno di nuovo saranno tutte accese?
LE TOVAGLIE DI CHIARA
La tavola di Chiara ha la forma di un triangolo equilatero, il cui lato misura 1m. Chiara la ricopre, senza lasciare nessun buco, con 5 tovagliette circolari con lo stesso raggio.
Quanto misura, al minimo, questo raggio in cm?
Detto questo spero che l'argomento vi interessi, io ho buttato il sangue per scrivere tutti i testi, ah, e non vi scordate di farmi gli auguri, oggi è il mio compleanno.
Anche quest'anno mi sono classificato tra i primi 10% della mia sede e quindi ho potuto partecipare.
Ho cercato un pò on-line le soluzioni, per vedere un pò i miei errori, ma da nessuna parte sono stati pubblicati i testi, ho scritto allora sulla pagina facebook del centro Pristem, e mi hanno risposto che i testi e le soluzioni saranno disponibili solo sulla prossima uscita della loro rivista Alice e Bob...
Quindi eccovi i testi della mia categoria, per dei cervelloni come voi non dovrebbero essere difficili, casomai vogliate posso aggiungere anche quelli delle categorie superiori.
EDIT: visto che li richiedete eccovi anche quelli delle altre categorie
DA 1 A 6
Collocate i numeri 2,3,4,6 nelle quattro caselle vuote della striscia. Attenzione, però: se due numeri (compresi 1 e 5) compaiono in due caselle vicine, devono essere numeri consecutivi (come ad esempio 4 e 3 oppure 5 e 6) o essere l'uno il doppio dell'altro.
1 _ _ _ _ 5
I DADI DELL'ANNO
Sulle facce di quattro dati identici sono riportate le cifre 0,1,2,3,4,5. Facce opposte hanno sempre cifre la cui somma vale 5. Carla legge il numero 2013 sui dadi collocati davanti a lei.
Quale numero leggerà Milena se si trova davanti a Carla e vede le facce opposte dei quattro dadi?
LA DIFFERENZA PIù GRANDE CHE SI PUò
Jacopo si diverte a scrivere tutti i numeri di otto cifre come 11052013 che utilizzano due 0, tre 1, un 2, e un 5. Poi sottrae il più piccolo di questi numeri dal più grande di loro.
Quale risultato ottiene (tenendo presente che un numero non comincia mai con la cifra 0)?
UNA STRANA MEMORIA
Anna ha comprato un regalo per ciascuno dei suoi 4 cuginetti. Non ha badato a spese, come si dice, ma non ricorda qual era il prezzo dei vari regali. Si ricorda però che per i primi tre cuginetti ha speso complessivamente 2013€; per il primo, il secondo e il quarto ha speso complessivamente 2031€; per il primo, il terzo e il quarto ha speso complessivamente 2103€ mentre la spesa complessiva dei regali destinati al secondo, terzo e quarto cuginetto è stata di 2301€.
Quanto ha speso Anna per il primo dei suoi cuginetti?
NUMERI ALLO SPECCHIO
Un numero di tre cifre (non nullo) è riportato sulla t-shirt di Luca, con le cifre che sono disegnate come in figura (la figura è inutile postarla, sono quei numeri fatti con le stecchette tipo tabellone di calcio
). Guardandosi allo specchio, Luca vede un numero uguale a 4 volte quello che è realmente scritto sulla sua t-shirt.
Quale numero Luca vede allo specchio? (Tenete presente che i fabbricanti di t-shirt non sono molto competenti in matematica e tra l'altro non sanno che un numero di più cifre non può cominciare con un solo 0)
IL COMPLEANNO
Quando si scrivono il giorno e il mese in cui è nato Renato ricorrendo a quattro cifre, due per il giorno e due per il mese (ad esempio l'11 maggio si scrive 11.05), non si usano mai le cifre 4,5,6,7,8,9.
Quante date di comlpeanno (giorno e mese) si possono scrivere, rispettando la stessa condizione?
UN VIAGGIO ATTORNO AL PIANETA
Sul pianeta della figura ci sono sei città, ciascuna indicata con una lettera e dotata di un aereoporto. Due aereoporti vicini (secondo i percorsi segnati in figura) hanno sempre la stessa distanza tra loro. Desiderio è un ricco eccentrico che viaggia con il suo aereo privato. Parte da A verso B e, raggiuntolo, gira verso destra di 90° dirigendosi verso E. Qui gira verso sinistra sempre di 90° e così via... alternando una "girata" a destra e una a sinistra, sempre di 90°, ogniqualvolta raggiunge un aereoporto.
Qual'è la distanza tra due aereoporti vicini sapendo che Desiderio, quando è tornato in A per la primas volta, aveva percorso 45000 km?
AI MINIMI TERMINI
Amerigo vuole dividere il blocco che vedete in figura nei suoi 21 cubetti (tutti uguali tra loro). Con qianti tagli (rettilinei) al minimo può ottenere i 21 cubetti, sapendo che tra un taglio e l'altro può risistemare i pezzi ottenuti come vuole?
RICCHEZZE AGRICOLE
Angelo possiede tre prati quadrati, i cui lati sono misurati da un numero intero di decametri. la somma delle aree dei tre prati vale 222 dam^2.
Quanto misurano i lati dei tre prati?
PER 11 E PER 13
Il numero intero positivo scelto da Debora è divisibile per 11; quello scelto da Liliana è divisibile per 13. La loro somma è uguale a 316.
Quanto vale il numero scelto da Debora?
UN, DUE, TRE
Nando possiede un gran numero di gettoni su ciascuno dei quali è riportata una delle cifre: 1,2,3. Allineando alcuni di questi gettoni, forma un numero per il quale i numeri di due cifre formati da due gettoni affiancati sono sempre diversi tra loro.
Quanti gettoni ha utilizzato Nando al massimo
IL TRAPEZIO
La base maggiore di un trapezio misura 18 cm. Un lato obliquo misura 5cm mentre gli altri suoi due lati misurano (in ordine crescente) 6 cm e 13cm.
Quanto misura in cm l'altezza?
IL NUMERO MISTERIOSO
Il nostro numero misterioso è un numero intero positivo tale che:
-se gli si sottrae 7, il risultato è divisibile per 6;
- se gli si sottrae 8, il risultato è divisibile per 7:
-se gli si sottrae 9, il risultato è divisibile per 8;
-se gli si sottrae 10, il risultato è divisibile per 9.
Qual'è il più grande numero minore di 2013 che soddisfa tutte queste proprietà?
TANTE TESTE
Gian Italo si diverte a lanciare in aria una moneta 1 Euro e a prendere nota se esce testa (T) o croce (C). nella serie di C e di T che scrive, i risultati di quattro lanci consecutivi sono tutti differenti tra loro e alla fine il numero delle teste è il triplo di quello delle croci.
Quanti lanci della moneta ha compiuto al massimo Gian Italo
TRE NUMERI CONSECUTIVI
Ciascuno dei numeri 2013,2014, e 2015 possiede otto divisori.
Quali sono i primi tre numeri interi naturali consecutivi che possiedono lo stesso numero di divisori (Non necessariamente otto)
SONO PRIMI
Il prodotto di tre numeri primi è uguale a 19 volte la loro somma.
Quali sono questi tre numeri?
Una ghirlanda elettrica
La nostra ghirlanda elettrica, circolare, possiede 9 lampadine inizialmente tutte accese. A partire da una lampadina scelta come iniziale, un segnale si propaga da una lampadina alla successiva, sempre nello stesso verso (quando è passato per tutte le lampadine raggiunge quella iniziale e così via).
Un'operazione consiste appunto nel far passare il segnale da una lampadina alla successiva tenendo conto che:
-se la lampadina da cui il segnale parte è accesa, allora la successiva cambia stato;
-se la lampadina da cui il segnale parte è spenta, allora la successiva verso cui si dirige non cambia stato.
Dopo quante operazioni, al minimo, le lampadine saranno di nuovo saranno tutte accese?
LE TOVAGLIE DI CHIARA
La tavola di Chiara ha la forma di un triangolo equilatero, il cui lato misura 1m. Chiara la ricopre, senza lasciare nessun buco, con 5 tovagliette circolari con lo stesso raggio.
Quanto misura, al minimo, questo raggio in cm?
Detto questo spero che l'argomento vi interessi, io ho buttato il sangue per scrivere tutti i testi, ah, e non vi scordate di farmi gli auguri, oggi è il mio compleanno.
Risposte
Ciao.
C'ero anch'io alla Bocconi. Categoria GP.
Guarda che l'ultimo esercizio era semplice.
In pratica bisogna trovare un numero tale che diviso per 6,7,8 e 9 dia sempre resto 1.
Il mcm di 6,7,8,9 è 504.
$504*3=1512+1=1513$
I cubetti si dividono con $5$ tagli.
La distanza tra due aeroporti è di $7500$ km. L'aereo una volta a D va verso F (da E ci è già passato..) e poi va verso A.
Uno due tre: la soluzione è effettivamente 10.
C'ero anch'io alla Bocconi. Categoria GP.
Guarda che l'ultimo esercizio era semplice.
In pratica bisogna trovare un numero tale che diviso per 6,7,8 e 9 dia sempre resto 1.
Il mcm di 6,7,8,9 è 504.
$504*3=1512+1=1513$
I cubetti si dividono con $5$ tagli.
La distanza tra due aeroporti è di $7500$ km. L'aereo una volta a D va verso F (da E ci è già passato..) e poi va verso A.
Uno due tre: la soluzione è effettivamente 10.
[xdom="Seneca"]Sposto in Scervelliamoci un po' (è la sezione più adatta per questioni riguardanti gare di matematica).[/xdom]
Ciao, complimenti per il testo - dovresti farne uno con tutte le domande (e le risposte), perchè limitarsi alla sola L1?
Alcune osservazioni su quello che hai scritto; sarei curioso di sapere per ogni domanda qual è la soluzione ideale! In particolare fra quelle che commento mi chiedo se il trapezio si poteva risolvere senza conoscere il teorema di Erone
Ciao e buon compleanno in ritardo!
UN VIAGGIO ATTORNO AL PIANETA
La risposta è 7.500 - dopo CD c'è DF e poi FA, torna quindi dopo 6 turni al punto di partenza.
Del resto è impossibile che torni nello stesso punto ogni 9 turni visto che in tutto gli aeroporti sono 6 e uno vale l'altro
AI MINIMI TERMINI
Mi è venuto cinque e come "dimostrazione" mi sono dato quella che dopo un taglio resterà sicuramente un quadrato 3 x 3. Per ridurre ai minimi termini il quadrata ci vogliono quattro tagli, per cui meno di 5 è impossibile. Allineando con cura i pezzi con questi 5 tagli si riesce a separare ogni cubetto per cui la risposta è 5.
UN, DUE, TRE
Se si trova la sequenza da 10 si può essere sicuri che non ce sono di più lunghe: infatti le possibili paia di gettoni sono 9 (3 x 3); una sequenza da 10 contiene 9 paia per cui l'11° gettone creerebbe per forza un doppione
IL TRAPEZIO
Per entrambe le opzioni, ridurre il trapezio a un triangolo (rendendo quindi la base minore uguale a zero) visto che l'altezza resta invariata. In un caso i lati del triangolo diventano 5, 12 e 13: accorgendosi che 5^2 + 12^2 = 13^2 capiamo che è un triangolo rettangolo per cui il lato obliquo di 5 cm in realtà è dritto per cui l'altezza è uguale a 5. Nel secondo caso i lati sono 5, 5 e 6. Usando la formula di Erone (http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Erone) calcoliamo l'area che è 12. Sapendo che la base è 5, calcoliamo l'altezza: 12 x 2 / 5 = 4.8
Alcune osservazioni su quello che hai scritto; sarei curioso di sapere per ogni domanda qual è la soluzione ideale! In particolare fra quelle che commento mi chiedo se il trapezio si poteva risolvere senza conoscere il teorema di Erone
Ciao e buon compleanno in ritardo!
UN VIAGGIO ATTORNO AL PIANETA
La risposta è 7.500 - dopo CD c'è DF e poi FA, torna quindi dopo 6 turni al punto di partenza.
Del resto è impossibile che torni nello stesso punto ogni 9 turni visto che in tutto gli aeroporti sono 6 e uno vale l'altro
AI MINIMI TERMINI
Mi è venuto cinque e come "dimostrazione" mi sono dato quella che dopo un taglio resterà sicuramente un quadrato 3 x 3. Per ridurre ai minimi termini il quadrata ci vogliono quattro tagli, per cui meno di 5 è impossibile. Allineando con cura i pezzi con questi 5 tagli si riesce a separare ogni cubetto per cui la risposta è 5.
UN, DUE, TRE
Se si trova la sequenza da 10 si può essere sicuri che non ce sono di più lunghe: infatti le possibili paia di gettoni sono 9 (3 x 3); una sequenza da 10 contiene 9 paia per cui l'11° gettone creerebbe per forza un doppione
IL TRAPEZIO
Per entrambe le opzioni, ridurre il trapezio a un triangolo (rendendo quindi la base minore uguale a zero) visto che l'altezza resta invariata. In un caso i lati del triangolo diventano 5, 12 e 13: accorgendosi che 5^2 + 12^2 = 13^2 capiamo che è un triangolo rettangolo per cui il lato obliquo di 5 cm in realtà è dritto per cui l'altezza è uguale a 5. Nel secondo caso i lati sono 5, 5 e 6. Usando la formula di Erone (http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Erone) calcoliamo l'area che è 12. Sapendo che la base è 5, calcoliamo l'altezza: 12 x 2 / 5 = 4.8
Ciao.
Il problema del trapezio si poteva risolvere utilizzando il teorema di Pitagora.
Il problema del trapezio si poteva risolvere utilizzando il teorema di Pitagora.
Ciao,
approfitto per chiederti:
- trapezio: utilizzare il teorema di pitagora come? frazionando la base in due e facendo un'equazione quadratica?
- sai dirmi la risposta alla domanda 18 e come ottenerla? (tavola triangolare da coprire con 5 fazzoletti circolari)
Grazie
approfitto per chiederti:
- trapezio: utilizzare il teorema di pitagora come? frazionando la base in due e facendo un'equazione quadratica?
- sai dirmi la risposta alla domanda 18 e come ottenerla? (tavola triangolare da coprire con 5 fazzoletti circolari)
Grazie
Ciao.
Sappiamo che la base maggiore è 18 e che un lato obliquo è 5.
Poniamo la base minore 13 e l'altro lato obliquo 6.
Togliamo dalla base maggiore (18) la proiezione della base minore (13) e ci resta 5.
A questo punto i due pezzettini rimanenti della base maggiore li chiamiamo $x$ e $5-x$.
Adesso abbiamo che $5^2-x^2=h^2$
Abbiamo anche $6^2-(5-x)^2=h^2$
Pertanto $5^2-x^2=6^2-(5-x)^2$
Sviluppando $25-x^2=36-25-x^2+10x$
Risolvendo $14=10x$
$x=1,4$
A questo punto facciamo la sostituzione: $5^2-1,4^2=h^2$
$25-1,96=h^2$
$23,04=h^2$
$h=4,8$
Ponendo la base minore 6 e l'altro lato obliquo 13, e procedendo nello stesso modo, si trova l'altra soluzione.
Per quanto riguarda l'esercizio 18 la risposta è 25, ma non so nè come nè perchè.
Sappiamo che la base maggiore è 18 e che un lato obliquo è 5.
Poniamo la base minore 13 e l'altro lato obliquo 6.
Togliamo dalla base maggiore (18) la proiezione della base minore (13) e ci resta 5.
A questo punto i due pezzettini rimanenti della base maggiore li chiamiamo $x$ e $5-x$.
Adesso abbiamo che $5^2-x^2=h^2$
Abbiamo anche $6^2-(5-x)^2=h^2$
Pertanto $5^2-x^2=6^2-(5-x)^2$
Sviluppando $25-x^2=36-25-x^2+10x$
Risolvendo $14=10x$
$x=1,4$
A questo punto facciamo la sostituzione: $5^2-1,4^2=h^2$
$25-1,96=h^2$
$23,04=h^2$
$h=4,8$
Ponendo la base minore 6 e l'altro lato obliquo 13, e procedendo nello stesso modo, si trova l'altra soluzione.
Per quanto riguarda l'esercizio 18 la risposta è 25, ma non so nè come nè perchè.
ok, ti ringrazio per soluzione e risposta!
Sono uscite le soluzioni ufficiali commentate, parlano anche della soluzione del trapezio e della formula di Erone... ah comunque sono arrivato 48esimo, non male...
Le soluzioni comunque le trovate qui: http://matematica.unibocconi.it/sites/default/files/SOLUZIONI%20COMMENTATE.pdf
Le soluzioni comunque le trovate qui: http://matematica.unibocconi.it/sites/default/files/SOLUZIONI%20COMMENTATE.pdf
Certo la soluzione alla 18 non è che venga spiegata...
Qual è la domanda 18? Sopra non le hai numerate.
La 18 è quella con un triangolo equilatero i cui lati misurano 1 metro. Viene interamente coperto con 5 cerchi di raggio identico: qual è la lunghezza minima del raggio di questi cerchi?
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