La soluzione più bella

[Sk_Anonymous]

Trovare tutte le soluzioni del sistema seguente :
$\{(x+y+z=3),(1/x+1/y+1/z=5/{12}),(x^3+y^3+z^3=45):}$
Come da titolo vediamo chi propone il procedimento più bello...

[Zero87]

"ciromario":Come da titolo vediamo chi propone il procedimento più bello...

La bellezza è soggettiva, magari il mio procedimento mi sembra bello ma a te non piace (o viceversa).

Innanzitutto per ovvi motivi escludiamo a prescindere $x,y,z=0$.

La chiave di tutto è la seconda equazione
$1/x+1/y+1/z=5/12$
da cui
$\frac{yz+xz+xy}{xyz}=5/12$
ovvero
$xy+xz+yz=5/12 xyz$

Ora sono sicuro che tu sai che in un'equazione di terzo grado (utilizzo la $w$ come incognita per non creare confusione)
$w^3-aw^2+bw-c=0$
se $x,y,z$ sono le tre radici, abbiamo che
$x+y+z=a$
$xy+xz+yz=b$
$xyz=c$

Inoltre, per il teorema di Newton che ho citato nel thread di non molto tempo fa quando parlavi di una somma polinomiale, abbiamo anche (con qualche risistemazione)
$x^3+y^3+z^3= a^3-3ab+3c$

A questo punto iniziamo a dare ordine: l'idea - che oramai si è capita - è quella di interpretare $x,y,z$ come le radici di un'equazione di terzo grado
$w^3-aw^2+bw-c=0$

- La prima equazione ci dice $a=3$
- La seconda equazione opportunamente manipolata ci dice $b= 5/12 c$
- L'ultima ci dice $45= a^3-3ab+3c$

Le metto a sistema, ma nell'ultima sostituisco direttamente $a=3$ per non portarmi la variabile di terzo grado:

${ (a=3),(b=5/12 c),(a^3-3ab+3c=45):}$
da cui
${ (a=3),(b=5/12 c),(27-45/12 c+3c=45):}$
cioè
${ (a=3),(b=5/12 c),(-9/12 c=18):}$
quindi
${ (a=3),(b=-10),(c=-24):}$

Ottengo, dunque, come equazione associata
$w^3-3w^2-10w+24=0$

Dopo aver visto a mente $-3^3-3\cdot (-3)^2+30+24=0$ deduco che il polinomio è divisibile per $(w+3)$ e intanto cala di un grado e ottengo
$(w+3)(w^2-6w+8)=0$
dunque
$(w+3)(w-2)(w-4)=0$
da cui le radici sono $w_1 = -3, w_2 = 2, w_3 =4$.

Le soluzioni del sistema di partenza sono, dunque, tutte le possibili terne formate da questi tre numeri poiché interpretando le incognite come radici ho solo fatto riferimento a proprietà abbastanza elementari di esse senza inserire vincoli relativi all'ordine (del tipo $x$ è per forza $w_1$ o cose simili)...

[theras]

A parte le soluzioni ineccepibili alla James,s'accettano pure furbate scandalose ?
Saluti dal web.
P.S.Forse le formule di Viete,benchè di "facile" comprensione,possono esulare dalle conoscenze
(sebbene non per forza dalla profondità di visuale..)delle superiori:
in quel caso,fermo restante l'importanza d'una trasformazione lecita ed opportuna della seconda equazione che è il cuore dell'esercizio,può esser utile scegliere momentaneamente la $z$(ad esempio..)come "parametro" ed osservare che
$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ $AA x,y in RR$(e dunque,in particolare,$AA x,y in ZZ$ )..

[Sk_Anonymous]

Siccome il quesito è mio mi ritengo giudice unico ed inappellabile !
Pertanto, in una scala da 1 a 10, dò un 7 (sette) a Zero87 perché alcune idee sono buone ma ci sono lacune nella soluzione ( che non svelo per non avvantaggiare gli eventuali altri concorrenti...). Quanto a theras, tengo a comunicargli che le furbate sono le mie preferite in questo genere di cose!

[Zero87]

"ciromario":do un 7 (sette) a Zero87 perché alcune idee sono buone ma ci sono lacune nella soluzione ( che non svelo per non avvantaggiare gli eventuali altri concorrenti...)

Mannaggia, una volta tanto che pensavo di aver fatto tutto in grazia divina!

Aspetterò l'evolversi dell thread (non fartelo chiudere che sono curioso! )...

[theras]

@Ciro(?).
Beh,allora è "semplice":
non sono molte le terne di numeri relativi(oggi mi sento ottimista )che hanno $12$ come minimo comune multiplo ..
Saluti dal web.
P.S.
Da ora in avanti,sebbene me ne dispiaccia,concluderò ogni post con te scrivendo
"con invito a non far degenerare verso altri lidi,inappropriati al luogo,l'ottimo thread proposto":
mi sembrerebbe un pò più poverino questo Forum,se alla fine ottenessi anche stavolta quel che,illogicamente,vuoi (ovviamente solo nella parte della tua personalità in cui hai concentrato tutta l'irrazionalità che hai dovuto metter da parte per far posto alla Matematica) ,
e tendo a provare a non far capitare eventi sgradevoli facilmente pronosticabili e,ancor più semplicemente,evitabili..

[Sk_Anonymous]

[xdom="@melia"][/xdom]

[gugo82]

Nota a latere: per HMAM almeno una delle soluzioni è negativa.

[robbstark1]

Propongo una soluzione elementare, forse non troppo furba però:

La seconda equazione è facilmente riconducibile a:
$12(xy + yz + zx) = 5xyz$
Moltiplicando il primo membro per $(x+y+z)/3$, che equivale a $1$ per la prima equazione:
$4(x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 3xyz) = 5xyz$
$4(x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2) = -7xyz$
Elevando al cubo la prima equazione:
$x^3 + y^3 + z^3 + 3(x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2) + 6xyz = 27$
Usando la prima equazione e l'equazione trovata prima:
$45 + 3*(-7/4) xyz + 6xyz = 27$
$xyz = -24$
Sostituendo questo risultato nella seconda equazione si trova:
$xy + yz + zx = -10$
Elevando al quadrato la prima equazione:
$x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 9$
Dunque sostituendo il risultato appena trovato:
$x^2 + y^2 + z^2 + 2*(-10) = 9$
$x^2 + y^2 + z^2 = 29$

A questo punto ho una collezione di equazioni tutte simmetriche rispetto a permutazioni delle variabili. Per potere trovare il valore di una variabile mi serve spezzare la simmetria.
Riscrivo dunque la prima equazione così:
$x+y = 3 - z$
Elevo al quadrato:
$x^2 + y^2 + 2xy = 9 - 6z + z^2$
Riarrangio le cose usando le equazioni precedenti, in modo da ottenere alla fine una sola incognita:
$x^2 + y^2 + z^2 - z^2 + 2(xyz)/z = 9 - 6z + z^2$
$29 - z^2 - (48)/z = 9 - 6z + z^2$
Moltiplicando tutto per $z$ e riordinando:
$z^3 - 3z^2 -10 z + 24 =0$
Scomponendo col metodi di Ruffini, trovo che essa è equivalente a:
$(z-2)(z+3)(z-4)=0$
Quindi $z$ può assumere uno di questi tre valori. Per simmetria, anche le altre variabili possono assumere uno di questi tre valori.
Dalla condizione sul prodotto ($xyz = -24$) si deduce anche che le tre variabili devono assumere i $3$ diversi valori.
Quindi le soluzioni sono sei, ovvero:
$(x,y,z) = (2, -3, 4)$ e sue permutazioni.

[Sk_Anonymous]

Confesso di essermi trovato un tantino in imbarazzo stamani. Avevo deciso di stanziare 500 euro ( ) per la soluzione migliore ma ora non riesco a decidermi tra Zero87 e Robbstark...Poi ho avuto la folgorazione: mi tengo i 500 euro per pagare qualche rata dell'eventuale IMU!

[theras]

"ciromario":Confesso di essermi trovato un tantino in imbarazzo stamani. Avevo deciso di stanziare 500 euro ( ) per la soluzione migliore ma ora non riesco a decidermi tra Zero87 e Robbstark...Poi ho avuto la folgorazione: mi tengo i 500 euro per pagare qualche rata dell'eventuale IMU! C'è Vendola che ci tiene tanto a farla pagare, hai visto mai che ci riesce !!!

Ma davvero non ti risulta ancora stucchevole,questo giochetto?
Contento tu..
Andiamo alle cose serie,dai,e notiamo intanto come dal tuo testo sia deducubile che

$ {(x+y=3-z),(1/x+1/y=5/(12)-1/z),((x+y)^3-xy(x+y)3+z^3-45=0):} $ o,equivalentemente, ${(x+y=3-z),((x+y)/(xy)=(5z-12)/(12z)),((x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-45=0):} $ (1);

dalla simultaneità delle tre uguaglianze,
e dal fatto che $x,y,z ne 0$ sono condizioni cui certamente soddisfano le componenti d'ogni sua potenziale terna risolvente $(x,y,z)$
(ci son pure $x ne -y,5z-12 ne 0$ tra esse,ma per ora preferisco lasciare siano eventuali lettori a desumerle..),


importiamo che il sistema (1) è equivalente a ${(x+y=3-z),(xy=(12z(3-z))/(5z-12)),((3-z)^3-3xy(3-z)+z^3-45=0):} $ (2) o,

se si preferisce,a ${(x+y=3-z),(xy=(12z(3-z))/(5z-12)),((3-z)^3-(36z(3-z)^2)/(5z-12)+z^3-45=0):} $:

manipolando un pò con la terza equazione di quest'ultimo,finalmente contenente un'unica incognita,
otteniamo abbastanza comodamente come essa equivalga a $z^3-3z^2-10z+24=0$ che,
grazie a Ruffini ed all'osservazione diretta di come essa ammetta $2$ quale soluzione razionale(addirittura intera),
può essere riscritta nella forma $(z-2)(z^2-z-12)=0$.
Da quest'ultima equazione in $z$ deduciamo subito pure le sue soluzioni $4$ e $- 3$ e,
sostituendo ognuna di esse nelle prime due equazioni del (2)
(e risolvendo il relativo sistema simmetrico di II° grado grazie alla nota equazione ausiliaria $K^2-sK+p=0$..),
otterremo tutte e sole le sei(6)soluzioni del sistema di partenza:
le ragioni più profonde del fatto,non casuale e prevedibile(in fondo il sistema dato era simmetrico..),
che tali soluzioni siano le $3"!"=6$ permutazioni dell'insieme ${4,-3,2}$,
vanno ricercate in quanto detto da James e Robbstark(*).
Saluti dal web.
(*)I cui procedimenti sono logicamente equivalenti tra loro(ed al mio,ovvio ):
pertanto dividerò con loro l'eventuale premio e,se saranno d'accordo,
lo devolveremo al fondo per le vittime(numerose da dx a sx,ne convengo,
sebbene rivedendo i vecchi post dei tuoi vari alter ego mi pare che in questo Forum i tuoi interlocutori abbiano a lungo provato a non farne incrementare la quantità col contributo delle loro persone e della tua..)
della difficoltà di confrontarsi,quando le opinioni divergono,con lo Stile dovuto .

[Sk_Anonymous]

Quanto alla tua soluzione ritengo che una quasi pagina di calcoli non siano proprio il massimo della ...bellezza. Ti voglio aiutare ricordandoti l'identità elementare di cui v'è traccia anche nelle altre soluzioni postate:
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$
con la quale il quesito si risolve abbastanza velocemente...

[theras]

Ehm...veramente i calcoli son quattro,
ed il resto sono considerazioni a vantaggio d'eventuali lettori dei primi anni delle superiori
(da quelli più pratici ai più "profondi",passando per i livelli intermedi..):
quelli,cioè,che usualmente non conoscono quelle generalizzazione del teorema del binomio di Newton nota col nome di polinomio di Liebnitz,
senza la quale,nella più ottimistica delle previsioni,la vedo dura ad intuire l'uguaglianza da te usata,
se prima non si svolge(lì si..) una pagina di calcoli per far saltare fuori con la forza bruta lo sviluppo di $(x+y+z)^3$..
Poi,certo,se sei riuscito a sviluppare un prematuro spirito critico nei confronti del calcolo combinatorio "elementare",
magari la intuisci a quindici anni:
ma dobbiamo anche considerare il caso,presumibilmente frequente,
di giovanissimi lettori che,pur dotati,ancora non hanno idea di quanti anagrammi posson tirarsi fuori da una qualsiasi stringa nè,tantomeno,se lo sono chiesti mai ..
Per il resto non raccolgo la $n"!"$ -esima provocazione travestita da freddura poco divertente:
ti rinnovo,in compenso,il solito invito
(unito a quello di discutere con gli amici di politica,nella vita fuori dalla rete,all'ora del caffè,
o in Internet nei luoghi deputati)..
Saluti dal web.

[Sk_Anonymous]

[xdom="giammaria"]Cancellato[/xdom]

[theras]

[ot]Insisto,e credo d'avertelo già detto,perchè a continuare così può finire in un sol modo:
e sarebbe un enorme peccato,scusami per quest'altra ripetizione,
tanto in virtù della risorsa che il tuo valore d'insegnante e matematico costituisce per questo Forum,
quanto per il fatto che,se il tuo contraddittorio avvenisse con toni non provocatori a tutti i costi e rispettosi dell'altro,
che caratterizzano un adulto che sente la responsabilità di confrontare,con toni magari aspri ma leali,
la propria opinione con quella della maggioranza
(sò di che parlo,essendo nato e cresciuto in una città più "nera" delle sue strade costruite con la roccia lavica..),
scatterebbe un meccanismo di confronto tra modi diversi d'intendere la Vita pubblica che,in Democrazia,
è indispensabile..
Non rispondo per le rime per ovvi motivi:
sarebbe in contrasto col desiderio,più volte ribadito,di continuare a leggere le tue idee su queste pagine virtuali..[/ot]
Mi scuso con James,Robbstark e,più in generale,col Forum(Karl compreso..),
per aver contribuito ad affossare un thread interessante per la seconda volta in pochi giorni:
le ragioni di ciò,sebbene non mi giustificano,credo d'averle esposte esaustivamente,
e le ritengo più alte del,seppur importante,corretto andamento d'un thread.
Saluti dal web.

[Zero87]

"ciromario":Ti voglio aiutare ricordandoti l'identità elementare di cui v'è traccia anche nelle altre soluzioni postate:
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$
con la quale il quesito si risolve abbastanza velocemente...

Mannaggia, avevo pensato al completamento del cubo, ma l'avevo scartato a priori perché facendo i calcoli non avevo raggruppato in quel modo.

"ciromario":E per favore non tirare in ballo le regole, come si fa qui quando si deve bloccare...la tastiera a chi dice cose scomode. Il forum è pieno zeppo di allusioni più o meno... politiche.

Ti faccio un esempio pratico.

Stai vedendo Milan-Inter (tanto per tirare in ballo theras). Dal telecronista quale frase ti aspetti:
a. Ecco Milito che controlla il pallone, parte il tiro... Nulla di fatto!Milito che ha iniziato nel Real Saragozza per poi passare al Genoa ecc... [breve carriera di Milito per poi riprendere la telecronaca].
b. Ecco Milito che controlla il pallone, parte il tiro... Nulla di fatto! Occorre abolire i privilegi per la casta ecc... [tirata politica che non c'entra nulla con il succo del discorso]
Se il telecronista andasse avanti con la "b." penso che ti verrebbe spontaneo dire "ma che c'entra con la partita" o altre cose simili.

Ergo, siccome so che sei intelligente - per sapere così bene la matematica devi per forza avere una base di ragionamento logico - non serve che vado oltre, no?

(E non ho minimamente citato il regolamento! )

Concludo con una captatio benevolentiae che cito da theras (ho fatto l'anteprima e ho visto il suo messaggio)

"theras come ot":in virtù della risorsa che il tuo valore d'insegnante e matematico costituisce per questo Forum

aggiungendo che sono tanto belli i quesiti che proponi - oltre che nell'altro thread ("un baricentro ficcanaso") con l'utente Luca ti sei comportato da utente modello (finora), con una premura incredibile e senza sparate politiche dal nulla - che è un peccato (costringere qualcuno a) chiudere i tuoi thread per ovvi motivi.
Siamo in una piccola oasi di pace e matematica... perché non farla restare tale?

[giammaria2]

[xdom="giammaria"]Adesso basta: questo forum è dedicato alla matematica. E' ammessa qualche digressione, ma occasionale, breve e rispettosa di tutti; non riscontro queste caratteristiche negli interventi di ciromario. Invito tutti gli altri utenti ad ignorare le sue provocazioni, in modo da rendere facile la loro cancellazione.
L'unico motivo per cui non blocco questo thread è che non servirebbe a nulla: il problema di ripresenterebbe in altri.[/xdom]

[Sk_Anonymous]

@Zero87
Io sono laziale e non vedo Milan- Inter ( nemmeno in Tv) !!!