Enigma logico
Siano $a$ e $b$ due congetture .
La congettura $a$ risulta essere vera se si assume come vera la congettura $b$ ,
a sua volte la congettura $b$ risulta essere vera assumendo come vera la congettura $a$ .
E' possibile un dimostrare che entrambe siano vere , alla luce di quanto detto sopra ?
(Esiste un teorema in merito , magari lo ha fatto Gödel
)
Io procedo cosi :
Se $a$ è vera assumendo vera $b$ , e se $b$ è verà assumendo vera $a$
allora necessariamente sono entrambe vere .
Se ,infatti, $a$ non fosse realmente vera
essa può essere assunta come vera (per ipotesi) per dimostrare $b$
ma $a$ non potrebbe risultare vera assumendo vero $b$ in quanto $a$ non è realmente vera (è falsa).
Stesso discorso per $b$ .
Se $b$ fosse realmente falsa
essa può essere assunta come vera (per ipotesi) per dimostrare $a$
ma $b$ non potrebbe risultare vera assumendo vero $a$ in quanto $b$ non è realmente vera (è falsa).
Dunque Se $a$ è vera assumendo vera $b$ , e se $b$ è verà assumendo vera $a$
allora necessariamente sono entrambe vere .
Voi cosa ne dite ? Io non sono una logica
edit : enigma al posto di egnima
La congettura $a$ risulta essere vera se si assume come vera la congettura $b$ ,
a sua volte la congettura $b$ risulta essere vera assumendo come vera la congettura $a$ .
E' possibile un dimostrare che entrambe siano vere , alla luce di quanto detto sopra ?
(Esiste un teorema in merito , magari lo ha fatto Gödel
)Io procedo cosi :
Se $a$ è vera assumendo vera $b$ , e se $b$ è verà assumendo vera $a$
allora necessariamente sono entrambe vere .
Se ,infatti, $a$ non fosse realmente vera
essa può essere assunta come vera (per ipotesi) per dimostrare $b$
ma $a$ non potrebbe risultare vera assumendo vero $b$ in quanto $a$ non è realmente vera (è falsa).
Stesso discorso per $b$ .
Se $b$ fosse realmente falsa
essa può essere assunta come vera (per ipotesi) per dimostrare $a$
ma $b$ non potrebbe risultare vera assumendo vero $a$ in quanto $b$ non è realmente vera (è falsa).
Dunque Se $a$ è vera assumendo vera $b$ , e se $b$ è verà assumendo vera $a$
allora necessariamente sono entrambe vere .
Voi cosa ne dite ? Io non sono una logica
edit : enigma al posto di egnima
Risposte
Io dico: siccome \(1=0 \Longleftrightarrow 3=0\), allora \(1=0\) e \(3=0\) sono entrambe vere, ed ex falso sequitur quodlibet.
Neanche io sono un logico, però faccio sempre esempi concreti e sotto questo punto di vista la vedo dura...
Prendo le seguenti 2 affermazioni (entrambe palesemente false):
$a$=sono il più intelligente al mondo
$b$=ho il QI più alto di tutti
Si vede che $b$ è vera se è vera $a$ (certo, si può filosofare molto sul fatto che il QI non è una misura concreta e blablabla... ma fa lo stesso) e $a$ è vera se è vera $b$... però sono entrambe false!
Il discorso è differente se tu "non sai" se una delle due è vera e la assumi per dimostrare l'altra: mi viene in mente l'assioma della scelta che se lo assumi vero puoi avere infinite arance a partire da una (era Delirium che aveva postato un video splendido a riguardo
).
EDIT
L'esempio di Delirium è molto meglio del mio!
Prendo le seguenti 2 affermazioni (entrambe palesemente false):
$a$=sono il più intelligente al mondo
$b$=ho il QI più alto di tutti
Si vede che $b$ è vera se è vera $a$ (certo, si può filosofare molto sul fatto che il QI non è una misura concreta e blablabla... ma fa lo stesso) e $a$ è vera se è vera $b$... però sono entrambe false!
Il discorso è differente se tu "non sai" se una delle due è vera e la assumi per dimostrare l'altra: mi viene in mente l'assioma della scelta che se lo assumi vero puoi avere infinite arance a partire da una (era Delirium che aveva postato un video splendido a riguardo
).EDIT
L'esempio di Delirium è molto meglio del mio!
L'equivalenza di due congetture non implica la loro verità.
Non comprendo questo "necessariamente".
"Stellinelm":
Dunque Se $a$ è vera assumendo vera $b$ , e se $b$ è verà assumendo vera $a$
allora necessariamente sono entrambe vere .
Non comprendo questo "necessariamente".
"Delirium":
Io dico: siccome \(1=0 \Longleftrightarrow 3=0\), allora \(1=0\) e \(3=0\) sono entrambe vere, ed ex falso sequitur quodlibet.
"Zero87":
Neanche io sono un logico, però faccio sempre esempi concreti e sotto questo punto di vista la vedo dura...
Quindi quello che ho scritto mi sembra di capire che non regge
Non c'è un modo di dimostrarlo attraverso una diversa impostazione argomentata ?
"Stellinelm":
Non c'è un modo di dimostrarlo attraverso una diversa impostazione argomentata ?
In un sistema consistente, direi di no.
Altrimenti, mettiamo che voglia dimostrare che "non esiste la mafia".
Se non esiste la mafia, allora non esiste nessun mafioso; e se non esiste nessun mafioso, allora non esiste la mafia.
Pertanto, secondo la tua tesi, le due affermazioni sono entrambe vere.
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
però 
se non esistono le persone mafiose non esiste neanche la mafia .
la mafia convoglia in un comportamento mafioso , se nessuna si comporta cosi allora non esiste neanche la mafia .
Se non esiste la mafia , allora non esistono neanche le persone che si comportano da mafiosi ... ohi ohi
"Delirium":
Io dico: siccome \(1=0 \Longleftrightarrow 3=0\), allora \(1=0\) e \(3=0\) sono entrambe vere, ed ex falso sequitur quodlibet.
Delio (scusa la confidenza) potresti risolvermi l'arcano
Ma quello che hai scritto sopra rispetta esattamente quello che ho scritto io ?
Forse potrebbe interessarti questo
viewtopic.php?f=47&t=110097
Comunque, il punto è che in logica dal falso si può estrarre qualsiasi cosa come vera proprio perché la premessa è falsa. Se hai dimestichezza con le tavole di verità o cose simili potresti sapere che
$A \rArr B$
da come risultato "vero" anche (tra l'altro) se $A$ è falsa.
http://it.wikipedia.org/wiki/Implicazione_logica
viewtopic.php?f=47&t=110097
Comunque, il punto è che in logica dal falso si può estrarre qualsiasi cosa come vera proprio perché la premessa è falsa. Se hai dimestichezza con le tavole di verità o cose simili potresti sapere che
$A \rArr B$
da come risultato "vero" anche (tra l'altro) se $A$ è falsa.
http://it.wikipedia.org/wiki/Implicazione_logica
Non lo so zero ... mah : devo far riposare la ram (la mia non quella del pc) 
Hai semplicemente detto che la proposizione $a$ se e solo se $b$ è vera, e dunque hai due possibilità: $a$ e $b$ vere oppure $a$ e $b$ entrambe false, non ci si scappa. Confermo che l'esempio $1=0$ se e solo se $3=0$ è perfetto per chiarire la situazione.
Grazie prof. Luca
Ipotesi:
\(\displaystyle \\
1) A \implies B \\
2) B \implies A \\
\)
La qual cosa puo' essere equivalentemente scritta come
\(\displaystyle A \Leftrightarrow B \)
Significa che entrambe devono essere vere oppure entrambe devono essere false.
Vediamo che le cose stiano effettivamente cosi':
* Supponiamo A vera. In tal caso B deve essere vera (ipotesi 1). (ok)
* Supponiamo A falsa. In tal caso B puo' essere vera o falsa (ipotesi 1). (ok)
Se fosse vera avremmo una contraddizione (ipotesi 2).
Per cui deve essere falsa.
* Supponiamo B vera. In tal caso A deve essere vera (ipotesi 2). (ok)
* Supponiamo B falsa. In tal caso A puo' essere vera o falsa (ipotesi 2). (ok)
Se fosse vera avremmo una contraddizione (ipotesi 1).
Per cui deve essere falsa.
La tesi secondo cui sono entrambe vere o entrambe false e' effettivamente mostrata per cui essa e' un teorema.
\(\displaystyle \\
1) A \implies B \\
2) B \implies A \\
\)
La qual cosa puo' essere equivalentemente scritta come
\(\displaystyle A \Leftrightarrow B \)
Significa che entrambe devono essere vere oppure entrambe devono essere false.
Vediamo che le cose stiano effettivamente cosi':
* Supponiamo A vera. In tal caso B deve essere vera (ipotesi 1). (ok)
* Supponiamo A falsa. In tal caso B puo' essere vera o falsa (ipotesi 1). (ok)
Se fosse vera avremmo una contraddizione (ipotesi 2).
Per cui deve essere falsa.
* Supponiamo B vera. In tal caso A deve essere vera (ipotesi 2). (ok)
* Supponiamo B falsa. In tal caso A puo' essere vera o falsa (ipotesi 2). (ok)
Se fosse vera avremmo una contraddizione (ipotesi 1).
Per cui deve essere falsa.
La tesi secondo cui sono entrambe vere o entrambe false e' effettivamente mostrata per cui essa e' un teorema.
Grazie MeniInfinito , apprezzo molto la tua ulteriore delucidazione .
Quindi per forza entrambe vere o entrambe false , non può essere una vera e una falsa ?
Quindi per forza entrambe vere o entrambe false , non può essere una vera e una falsa ?
Se mi fai questa domanda significa che non hai letto completamente il mio post o che esso non ti ha delucidato abbastanza.
Tra l'altro, piu' semplicemente, abbiamo 4 casi ipotetici :
1) A vera, B falsa : in contraddizione con ipotesi 1
2) A vera, B vera : in accordo con entrambe le ipotesi
3) A falsa, B vera : in contraddizione con ipotesi 2 (NB)
4) A falsa, B falsa : in accordo con entrambe le ipotesi
Tra l'altro, piu' semplicemente, abbiamo 4 casi ipotetici :
1) A vera, B falsa : in contraddizione con ipotesi 1
2) A vera, B vera : in accordo con entrambe le ipotesi
3) A falsa, B vera : in contraddizione con ipotesi 2 (NB)
4) A falsa, B falsa : in accordo con entrambe le ipotesi
No eri stato e sei stato chiarissimo .
Non avevo capito (perchè non li so) i simboli logici
\(\displaystyle \\
1) A \implies B \\
2) B \implies A \\
\)
la (1) sta se è vera $a$ allora è vera $b$
e la (2) sta se è vera $b$ allora è vera $a$ , giusto ?
Mentre questa (anche se ho capito il significato)
\( \displaystyle A \Leftrightarrow B \)
come si legge ?
e grazie davvero tanto
Non avevo capito (perchè non li so) i simboli logici
\(\displaystyle \\
1) A \implies B \\
2) B \implies A \\
\)
la (1) sta se è vera $a$ allora è vera $b$
e la (2) sta se è vera $b$ allora è vera $a$ , giusto ?
Mentre questa (anche se ho capito il significato)
\( \displaystyle A \Leftrightarrow B \)
come si legge ?
e grazie davvero tanto
"Stellinelm":
\(\displaystyle \\
1) A \implies B \\
2) B \implies A \\
\)
Questa è l'implicazione logica e si legge $A$ implica $B$. La tabella di verità è differente da come potresti immaginarla:
$$\begin{array}{c|c|c}
A & B & A \Rightarrow B \\
\text{Vero} & \text{Vero} & \text{Vero} \\
\text{Vero} & \text{Falso} & \text{Falso} \\
\text{Falso} & \text{Vero} & \text{Vero} \\
\text{Falso} & \text{Falso} & \text{Vero} \\
\end{array}$$
"Stellinelm":
Mentre questa (anche se ho capito il significato)
\( \displaystyle A \Leftrightarrow B \)
come si legge ?
Questa è la doppia implicazione (o coimplicazione). Si legge in genere $A$ se e solo se $B$. Equivale a \((A \Rightarrow B)\wedge(B \Rightarrow A)\), quindi la tabella di verità è la seguente:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A & A \Leftrightarrow B\\
\text{Vero} & \text{Vero} & \text{Vero} & \text{Vero} & \text{Vero}\\
\text{Vero} & \text{Falso} & \text{Falso} & \text{Vero} & \text{Falso} \\
\text{Falso} & \text{Vero} & \text{Vero} & \text{Falso} &\text{Falso} \\
\text{Falso} & \text{Falso} & \text{Vero} & \text{Vero} & \text{Vero} \\
\end{array}$$
Come puoi facilmente notare, \(A \Leftrightarrow B\) è vera solo quando $A$ e $B$ sono entrambe vere (che è quello che volevi tu) oppure quando $A$ e $B$ sono entrambe false.
"Pianoth":
Come puoi facilmente notare, \(A \Leftrightarrow B\) è vera solo quando $A$ e $B$ sono entrambe vere (che è quello che volevi tu) oppure quando $A$ e $B$ sono entrambe false.
Quoto questo - sottolineando un passaggio importante -, poiché è lo spirito di tutto il thread (suppongo).
Il senso del thread era già stato chiarito dal post di Luca.Lussardi, che senza tanti minestroni ha scritto:
"Luca.Lussardi":
Hai semplicemente detto che la proposizione $a$ se e solo se $b$ è vera, e dunque hai due possibilità: $a$ e $b$ vere oppure $a$ e $b$ entrambe false, non ci si scappa. Confermo che l'esempio $1=0$ se e solo se $3=0$ è perfetto per chiarire la situazione.
Grazie prof , grazie 007 , grazie Delirium , grz Menoinfinito ,grz dott Luca : grazie a tutti (che fatica )
Vorrei porvi lo stesso quesito alla luce di un nuovo "risvolto" .
La congettura $a$ risulta essere vera se si assume come vera la congettura $b$ ,
a sua volte la congettura $b$ risulta essere vera assumendo come vera la congettura $a$ ,
quindi come dimostrato o sono entrambe vere oppure entrambe false .
Attraverso la validità della congettura $b$ , ottenuta sotto condizione della validità della congettura $a$ ,
è possibile costruire un teorema $c$ .
ora (correggetemi se sbaglio) , si ha che :
$a$ , $b$ , $c$ sono tutti veri oppure tutti falsi .
Tuttavia il nuovo teorema $c$ era stato già formulato è dimostrato in modo diverso da vari matematici ,
tra cui anche prima Srinivasa Ramanujan poi Paul Erdős .
Quindi il fatto che $c$ non possa essere falso , in quanto esistono altre dimostrazioni dello stesso ,anche se in forma diversa , è una condizione sufficiente per affermare che $a$ , $b$ , $c$ siano tutte e tre vere
p.s. : quindi in realtà $c$ essendo già stato formulato e dimostrato è una ri-dimostrazione , ma si può sempre ipotizzare che non si era a conoscenza dell'esistenza di tale formulazione e dimostrazione .
) Vorrei porvi lo stesso quesito alla luce di un nuovo "risvolto" .
La congettura $a$ risulta essere vera se si assume come vera la congettura $b$ ,
a sua volte la congettura $b$ risulta essere vera assumendo come vera la congettura $a$ ,
quindi come dimostrato o sono entrambe vere oppure entrambe false .
Attraverso la validità della congettura $b$ , ottenuta sotto condizione della validità della congettura $a$ ,
è possibile costruire un teorema $c$ .
ora (correggetemi se sbaglio) , si ha che :
$a$ , $b$ , $c$ sono tutti veri oppure tutti falsi .
Tuttavia il nuovo teorema $c$ era stato già formulato è dimostrato in modo diverso da vari matematici ,
tra cui anche prima Srinivasa Ramanujan poi Paul Erdős .
Quindi il fatto che $c$ non possa essere falso , in quanto esistono altre dimostrazioni dello stesso ,anche se in forma diversa , è una condizione sufficiente per affermare che $a$ , $b$ , $c$ siano tutte e tre vere
p.s. : quindi in realtà $c$ essendo già stato formulato e dimostrato è una ri-dimostrazione , ma si può sempre ipotizzare che non si era a conoscenza dell'esistenza di tale formulazione e dimostrazione .
Allora, si è detto - dunque - o che sono entrambe vere o entrambe false, senza mezzi termini: il mio post precedente doveva avere il sapore di "riassunto puntate precedenti".
Non credo sia così facile.
Supponi che $a$ e $b$ siano entrambe vere e ricordiamo la doppia implicazione tra $a$ e $b$. Se da una delle due dimostri $c$ hai in automatico che $c$ sia vera.
Supponi che $a$ e $b$ siano entrambe false. Ora siccome ex falso sequitur quod libet dal falso puoi dimostrare qualsiasi cosa, sia vera che falsa. Quindi non è strano che riesci a dimostrare $c$ da una delle due ma non sai se $c$ sia vera o falsa!
Solo se fai l'inverso, cioè se da $c$ dimostri $b$ (oppure $a$: in realtà basta tirarne fuori una sola dato che $a$ e $b$ sono equivalenti poiché sussiste il se e solo se).
"Stellinelm":
Attraverso la validità della congettura $b$ , ottenuta sotto condizione della validità della congettura $a$ ,
è possibile costruire un teorema $c$ .
ora (correggetemi se sbaglio) , si ha che :
$a$ , $b$ , $c$ sono tutti veri oppure tutti falsi .
Non credo sia così facile.
Supponi che $a$ e $b$ siano entrambe vere e ricordiamo la doppia implicazione tra $a$ e $b$. Se da una delle due dimostri $c$ hai in automatico che $c$ sia vera.
Supponi che $a$ e $b$ siano entrambe false. Ora siccome ex falso sequitur quod libet dal falso puoi dimostrare qualsiasi cosa, sia vera che falsa. Quindi non è strano che riesci a dimostrare $c$ da una delle due ma non sai se $c$ sia vera o falsa!
"Stellinelm":
Quindi il fatto che $c$ non possa essere falso , in quanto esistono altre dimostrazioni dello stesso ,anche se in forma diversa , è una condizione sufficiente per affermare che $a$ , $b$ , $c$ siano tutte e tre vere
Solo se fai l'inverso, cioè se da $c$ dimostri $b$ (oppure $a$: in realtà basta tirarne fuori una sola dato che $a$ e $b$ sono equivalenti poiché sussiste il se e solo se).
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