100 modi per calcolare - approssimativamente - il valore di $pi$
[size=80][Il titolo è approssimativo. 
][/size]
Ma quanti modi ci sono per avere un'approssimazione del valore di $pi$?
Francamente ci ho pensato su, e ne ho trovati alcuni derivanti da sviluppi in serie di Taylor di funzioni trigonometriche. Un esempio è quello di troncare lo sviluppo in serie di Taylor di $arccos(1/2)$ in un indice prestabilito (per poi moltiplicare il risultato ottenuto per $3$ dato che l'angolo per cui il coseno vale $1/2$ è $\pi/3$).
Mi è anche venuto in mente - si veda il problema di Basilea - di troncare la somma $\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2}$ ad un certo indice naturale $m$ (ovviamente $m>1$) per poi prendere il risultato ottenuto, dividerlo per 6 e fare la radice quadrata di tutto.
In pratica, dato che
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2}=\pi^2/6$
ho
$\pi =\sqrt(6 \sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2})$
troncando la somma all'interno della radice per un certo indice $m$ si dovrebbe ottenere un'approssimazione più vicina al vero al crescere di tale $m$.
Ora, tralasciando questioni di analisi numerica - che tra l'altro dicono che il secondo metodo è tutt'altro che agevole!
- invito chiunque voglia cimentarsi a fornire un metodo o un'idea per il calcolo numerico (approssimato) del $\pi$.
Nell'ultimo anno di liceo scientifico si fanno molti integrali (es. area di figure piane o volume) che danno risultati che sono multipli del $\pi$ o che comunque presentano esplicitamente il $\pi$ all'interno di tali formule, inoltre qualcuno fa anche gli sviluppi in serie di Taylor.
Tuttavia più il metodo è elementare, più è interessante.
Buon divertimento a chiunque voglia cimentarsi in questo giochino e trovare formule alternative.
PS.
Con "invito chiunque voglia cimentarsi a fornire un metodo o un'idea per il calcolo numerico (approssimato) del $\pi$" intendo un metodo che comunque si può applicare: carta e penna per intenderci, al max una calcolatrice scientifica (ovviamente che il metodo non sia "premere il tasto $\pi$ sulla calcolatrice!!!).
][/size]Ma quanti modi ci sono per avere un'approssimazione del valore di $pi$?
Francamente ci ho pensato su, e ne ho trovati alcuni derivanti da sviluppi in serie di Taylor di funzioni trigonometriche. Un esempio è quello di troncare lo sviluppo in serie di Taylor di $arccos(1/2)$ in un indice prestabilito (per poi moltiplicare il risultato ottenuto per $3$ dato che l'angolo per cui il coseno vale $1/2$ è $\pi/3$).
Mi è anche venuto in mente - si veda il problema di Basilea - di troncare la somma $\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2}$ ad un certo indice naturale $m$ (ovviamente $m>1$) per poi prendere il risultato ottenuto, dividerlo per 6 e fare la radice quadrata di tutto.
In pratica, dato che
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2}=\pi^2/6$
ho
$\pi =\sqrt(6 \sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2})$
troncando la somma all'interno della radice per un certo indice $m$ si dovrebbe ottenere un'approssimazione più vicina al vero al crescere di tale $m$.
Ora, tralasciando questioni di analisi numerica - che tra l'altro dicono che il secondo metodo è tutt'altro che agevole!
- invito chiunque voglia cimentarsi a fornire un metodo o un'idea per il calcolo numerico (approssimato) del $\pi$.Nell'ultimo anno di liceo scientifico si fanno molti integrali (es. area di figure piane o volume) che danno risultati che sono multipli del $\pi$ o che comunque presentano esplicitamente il $\pi$ all'interno di tali formule, inoltre qualcuno fa anche gli sviluppi in serie di Taylor.
Tuttavia più il metodo è elementare, più è interessante.
Buon divertimento a chiunque voglia cimentarsi in questo giochino e trovare formule alternative.
PS.
Con "invito chiunque voglia cimentarsi a fornire un metodo o un'idea per il calcolo numerico (approssimato) del $\pi$" intendo un metodo che comunque si può applicare: carta e penna per intenderci, al max una calcolatrice scientifica (ovviamente che il metodo non sia "premere il tasto $\pi$ sulla calcolatrice!!!).
Risposte
Elementare misurare con una corda una circonferenza e dividere il risultato per il suo diametro.
Più carino lanciare $n$ aghi di lunghezza $l$ (con $n>M$) e contare le $h$ volte in cui un ago interseca una delle linee parallele distanti $t$ tra di loro. risulterà $pi= (2l*n)/(t*h)$
Più carino lanciare $n$ aghi di lunghezza $l$ (con $n>M$) e contare le $h$ volte in cui un ago interseca una delle linee parallele distanti $t$ tra di loro. risulterà $pi= (2l*n)/(t*h)$
"kobeilprofeta":
Elementare misurare con una corda una circonferenza e dividere il risultato per il suo diametro.
Ma non è "carta e penna"
."kobeilprofeta":
Più carino lanciare $n$ aghi di lunghezza $l$ (con $n>M$) e contare le $h$ volte in cui un ago interseca una delle linee parallele distanti $t$ tra di loro. risulterà $pi= (2l*n)/(t*h)$
Non l'avevo mai sentito e momentaneamente non me ne capacito: wow!
Ho editato il messaggio iniziale aggiungendo "calcolatrice" al "carta e penna": calcolatrice intesa come strumento per velocizzare il metodo che viene in mente.
@Zero87 Quello di cui ha scritto kobeilprofeta è il cosidetto [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Buffon's_needle]ago di Buffon[/url]! : )
"j18eos":
@Zero87 Quello di cui ha scritto kobeilprofeta è il cosidetto [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Buffon's_needle]ago di Buffon[/url]! : )
Ora che m'hai detto il nome, ricordo di averlo sentito nominare (grazie j18eos
) nel corso di elementi di probabilità e statistica, [size=85]corso che ho dimenticato mooolto velocemente[/size]. 
Un metodo assolutamente geometrico ( vedi figura).
Si costruisce la circonferenza di centro A e raggio AB=r ( in figura è r=2)
Si traccia la tangente in B alla circonferenza e su di essa si riporta il segmento BE=3r
Si descrive l'arco di centro B e raggio BA che incontra la circonferenza in C
Si traccia da A la perpendicolare a BC che interseca la tangente di cui prima in D
A partire da B si riporta sulla tangente il segmento BF=ED
Il segmento GF diviso per r ( per 2, nel nostro caso ) dà come risultato 3.141535 che coincide con $pi$ fino alla 4° cifra decimale.
Lascio i calcoli ai volenterosi
Bisogna dire che hai approssimato un po', perché $GF=sqrt41= ~~6,403124$ e quindi il rapporto viene $3,2...$
Approssimazione buona o meno, comunque è un metodo davvero interessante e non l'avevo mai visto.
Ci sarebbe anche la formula di Wallis:
\[
\pi=2\cdot\frac{2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot...}{3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot...}
\]
però non so quanto sia "buona" per il calcolo di \(\pi\).
\[
\pi=2\cdot\frac{2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot...}{3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot...}
\]
però non so quanto sia "buona" per il calcolo di \(\pi\).
"j18eos":
però non so quanto sia "buona" per il calcolo di \(\pi\).
Non lo so neanche io, però, ad es.
$2 \cdot \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdot 8^2 \cdot 10}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 9^2}= 2 \cdot (1474560)/(893025)= 3.30...$
non la vedo benissimo... però non per questo non è degna di nota!
@Luca
Non so come hai fatto i calcoli perché io mi trovo così:
$GF=sqrt(40/3-2sqrt 3)=3.141533...$
Infatti, supponendo per semplicità r=AB=1 ( tanto è lo stesso anche con valori diversi) e tenendo conto che il triangolo
ABC è equilatero, risulta :
$DB=AB\cdot tan (30°)={sqrt 3}/3$
$BF=ED=EB-DB=3-{sqrt3}/3$
Pertanto :
$GF=sqrt{BF^2+BG^2}=sqrt{(3-{sqrt 3}/3)^2+4}=sqrt{{40}/3-2sqrt3}=3.141533...$
Non so come hai fatto i calcoli perché io mi trovo così:
$GF=sqrt(40/3-2sqrt 3)=3.141533...$
Infatti, supponendo per semplicità r=AB=1 ( tanto è lo stesso anche con valori diversi) e tenendo conto che il triangolo
ABC è equilatero, risulta :
$DB=AB\cdot tan (30°)={sqrt 3}/3$
$BF=ED=EB-DB=3-{sqrt3}/3$
Pertanto :
$GF=sqrt{BF^2+BG^2}=sqrt{(3-{sqrt 3}/3)^2+4}=sqrt{{40}/3-2sqrt3}=3.141533...$
Uno dei modi "semplici" consiste nell'usare le identità trigonometriche:
\[
\begin{split}
\frac{\pi}{4} &= 4\ \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\\
\frac{\pi}{4} &= 12\ \arctan \frac{1}{18} + 8\ \arctan \frac{1}{57} - 5\ \arctan \frac{1}{239}
\end{split}
\]
e nell'usare l'approssimazione di Taylor dell'arcotangente (questi, tra l'altro sono esempi di un certo interesse storico).
Ad esempio dalla prima identità, prendendo tre termini per \( \arctan \frac{1}{5}\) e l'approssimazione del primo ordine per \(\arctan \frac{1}{239}\) si ottiene \(0.78600256624\), che differisce da \(\pi/4\) per circa \(3\cdot 10^{-4}\).
\[
\begin{split}
\frac{\pi}{4} &= 4\ \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\\
\frac{\pi}{4} &= 12\ \arctan \frac{1}{18} + 8\ \arctan \frac{1}{57} - 5\ \arctan \frac{1}{239}
\end{split}
\]
e nell'usare l'approssimazione di Taylor dell'arcotangente (questi, tra l'altro sono esempi di un certo interesse storico).
Ad esempio dalla prima identità, prendendo tre termini per \( \arctan \frac{1}{5}\) e l'approssimazione del primo ordine per \(\arctan \frac{1}{239}\) si ottiene \(0.78600256624\), che differisce da \(\pi/4\) per circa \(3\cdot 10^{-4}\).
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